Главная страница

С6 по математике. 1 математика егэ 2010 Задания С


Скачать 0,55 Mb.
Название1 математика егэ 2010 Задания С
АнкорС6 по математике.pdf
Дата10.12.2017
Размер0,55 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаS6_po_matematike.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#51076
страница1 из 8
Каталогmikhaildemin

С этим файлом связано 29 файл(ов). Среди них: Ugol_mezhdu_ploskostyami_Trenirovovchnye_zadachi.pdf, Планы ответа C8.doc, EGE_2013_Matematika_Zadacha_S3_Sergeev_I_N__P.pdf, Teoria_S3.pdf, Ugol_mezhdu_ploskostyami.pdf, Конспекты в схемах.doc, S6_po_matematike.pdf, Genetika_pola1.pdf, angliyskiy_govorenie_muzlanova_100_tem.pdf и ещё 19 файл(а).
Показать все связанные файлы
  1   2   3   4   5   6   7   8

1 МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2010 Задания С
Корянов А.Г. г. Брянск Замечания и пожелания направляйте по адресу
akoryanov@mail.ru УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ от учебных задач до олимпиадных задач) Содержание МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ Линейные уравнения
1. Метод прямого перебора
2. Использование неравенств
3. Использование отношения делимости
4. Выделение целой части
5. Метод остатков
6. Метод спуска
7. Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю
8. Использование формул
9. Использование конечных цепных дробей Нелинейные уравнения
1. Метод разложения на множители а) вынесение общих множителей за скобку б) применение формул сокращенного умножения в) способ группировки г) разложение квадратного трехчлена д) использование параметра
2. Метод решения относительно одной переменной а) выделение целой части б) использование дискриминанта (неот- рицательность) в) использование дискриминанта (полный квадрат)
3. Метод оценки а) использование известных неравенств б) приведение к сумме неотрицательных выражений
4. Метод остатков
5. Метод спуска а) конечного спуска б) бесконечного спуска
6. Метод от противного
7. Параметризация уравнения
8. Функционально-графический метод Неравенства
1. Метод математической индукции
2. Использование области определения
3. Использование монотонности
4. Использование ограниченности
5. Метод интервалов
6. Функционально-графический метод УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
1. Уравнение с одной неизвестной
2. Уравнения первой степени с несколькими неизвестными
3. Уравнения второй степени с несколькими неизвестными. Уравнения высшей степени
5. Дробно-рациональные уравнения
6. Иррациональные уравнения
7. Показательные уравнения
8. Уравнения смешанного типа
9. Уравнения, содержащие знак факториала
10. Уравнения с простыми числами
11. Неразрешимость уравнений
12. Текстовые задачи
13. Уравнения, содержащие функцию целая часть числа
]
[x
14. Неравенства
15. Задачи с параметром Указания и решения Список опорных задач Источники МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Метод прямого перебора
● В клетке сидят кролики и фазаны. Всего у них
18 ног. Узнать сколько в клетке тех и других. Укажите все решения.

2 Решение. Пусть х – количество кроликов, у – количество фазанов, тогда имеем уравнение
18 2
4
=
+ y
x
или
9 2
=
+ Если
,
1
=
x
то Если
,
2
=
x
то Если
,
3
=
x
то Если
,
4
=
x
то При
5
=
x
получаем
9 10 Ответ (1;7), (2;5), (3;3), (4;1).
2. Использование неравенств
● Решите в натуральных числах уравнение
39 8
5
=
+ Решение Для уменьшения перебора вариантов рассмотрим неравенства





=


=
0 5
39 8
0 8
39 5
x
y
y
x






7 Проведем перебор по неизвестной у. Если
,
1
=
y
тоне является натуральным числом. Если
,
2
=
y
тоне является натуральным числом. Если
,
3
=
y
то Если
,
4
=
y
тоне является натуральным числом. Ответ (3; 3).
3. Использование отношения делимости
● Имеются контейнеры двух видов по 130 кг и
160 кг. Сколько было контейнеров первого и сколько второго вида, если вместе они весят 3 тонны Укажите все решения. Решение.
Обозначим количество контейнеров первого вида через х, второго – через у. Получаем уравнение
3000 160 130
=
+
y
x
или
300 16 13
=
+ y
x
Далее имеем
,
1 23 13 3
13 13
+

=
+
+
y
y
x
).
23
(
13 Отсюда следует, что разность
1 3

y
делится на
13. Если
,
0 1
3
=

y
то у
не является натуральным числом. Если
,
13 1
3
=

y
то у не является натуральным числом. Если
,
26 1
3
=

y
то
9
=
y
и Если
,
39 1
3
=

y
то у не является натуральным числом. Если
,
52 1
3
=

y
то у не является натуральным числом. Если
,
65 1
3
=

y
то
,
22
=
y
но
300 352 22 Ответ 12 контейнеров по 130 кг и 9 по 160 кг.
4. Выделение целой части
● У осьминога 8 нога у морской звезды 5. Сколько в аквариуме тех и других, если всего у них 39 ног Решение. Пусть х – количество осьминогов, у – количество морских звезд, тогда получаем уравнение. Выразим у из уравнения и выделим целую часть
5 4
3 7
5 8
39



=

=
x
x
x
y
Отсюда следует, что разность
4 3

x
делится на 5. Если
,
0 4
3
=

x
то хне является натуральным числом. Если
,
5 4
3
=

x
то
3
=
x
и Если
,
10 4
3
=

x
то хне является натуральным числом. Если
,
15 4
3
=

x
то хне является натуральным числом. Если
,
20 4
3
=

x
то
,
8
=
x
но
39 64 Ответ 3 и 3. Замечание. В двух последних примерах использовано отношение делимости, при этом уравнения приводились к разному виду.
5. Метод остатков
● Решите уравнение
1 4
3
=
y
x
в целых числах. Решение. Перепишем уравнение в виде
1 4
3
+
= y
x
Поскольку левая часть уравнения делится на 3, то должна делиться на 3 и правая часть. Рассмотрим три случая.
1) Если
,
3m
y
=
где
,
Z
m

тоне делится на 3.
2) Если
,
1 3
+
= m
y
тоне делится на 3.
3) Если
,
2 3
+
= m
y
то
9 12 1
)
2 3
(
4 1
4
+
=
+
+
=
+
m
m
y
делится на 3, поэтому Ответ
,
3 4
+
= m
x
,
2 3
+
= где
Z
m

6. Метод спуска
● Решите в целых числах уравнение
3 7
5
=
y
x

3 Решение. Выразим из уравнения то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю
5 3
2 5
3 7
+
+
=
+
=
y
y
y
x
Дробь
5 3
2
+
y
должна быть равна целому числу. Положим
,
5 где z – целое число. Тогда
5 3
2
z
y
=
+
Из последнего уравнения выразим то неизвестное, коэффициент при котором меньше по модулю, и проделаем аналогичные преобразования
2 3
3 2
3 5
+

=

=
z
z
z
y
Дробь
2 3
+
z
должна быть целым числом. Обозначим
,
2 3
t
z
=
+
где t
– целое число. Отсюда
3 2

= t
z
Последовательно возвращаемся к неизвестным хи у
,
9 5
)
3 2
(
3

=


=
t
t
t
y
12 7
3 2
9 Ответ
,
9 5
,
12 7

=

=
t
y
t
x
где
Z
t

7. Метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю
● Решите в целых числах уравнение
1 23 79
=
− Решение. Проведем деление с остатком
10 3
23 79
+

=
и перепишем исходное уравнение в виде
,
1 10 69 1
79 23

+
=

=
y
y
y
x
1 10 69 23

=

y
y
x
Левая часть последнего уравнения делится нацело на 23, поэтому и правая часть должна делиться на 23. Имеем
,
23 1
10
t
y
=

где Для полученного нового уравнения повторим процедуру уменьшения коэффициентов.
;
1
)
3 10 2
(
1 23 10
+
+

=
+
=
t
t
y
;
1 3
20 10
+
=

t
t
y
,
10 1
3
u
t
=
+
где Проведем еще раз процедуру уменьшения коэффициентов Выразим хи у через n. Так как
,
1 3
+
= n
u
то
;
9 30 1
)
1 3
(
10 1
10 3
+
=

+
=

=
n
n
u
t
3 10
+
= n
t
;
70 230 1
)
3 10
(
23 1
23 10
+
=
+
+
=
+
=
n
n
t
y
7 23
+
= n
y
;
552 23 79 1
)
7 23
(
79 1
79 23
+

=

+
=

=
n
n
y
x
24 Ответ
;
24 79
+
=
n
x
,
7 23
+
= n
y
где Замечание. В последних двух примерах применен метод последовательного уменьшения коэффициентов по модулю, при этом уравнения приводились к разному виду.
8. Использование формул Теорема. Уравнение 2
1 разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда
,
| b
d
где d = НОД
).
,...,
,
(
2 Теорема. Пусть уравнение разрешимо в Z и пара
(
)
0 0
; y
x
является частным решением этого уравнения. Тогда множеством всех решений в Z данного уравнения является множество пар
( )
y
x;
, где



⎪⎪



+
=


=
t
d
a
y
y
t
d
b
x
x
0 0
где Следствие. Пусть аи взаимно просты и
(
)
0 0
; y
x
- какое-нибудь решение уравнения
c
by
ax
=
+
(*) Тогда формулы
t
b
x
x


=
0
, придают все решения уравнения (*).
● Остаток отделения некоторого натурального числа n на 6 равен 4, остаток отделения на
15 равен 7. Чему равен остаток отделения на
30? (МГУ, 1969) Решение. Из условия задачи следует, что существует натуральное число k такое, что
4 6
+
= k
n
Аналогично имеем
,
7 15
+
= l
n
где
N
l

Исключая из этих двух равенств n, получим уравнение
1 5
2
=
l
k
(*) Для решения этого уравнения найдем какое- нибудь частное решение в целых (необязательно неотрицательных) числах. Подбором в качестве такого частного решения можно взять, например Согласно следствия уравнение (*) имеет решения
,
5 2
t
k
+

=
,
2 1
t
l
+

=
где
Z
t

Чтобы числа k и l были неотрицательными, параметр t должен принимать натуральные значения. Теперь имеем
22
)
1
(
30 8
30 4
)
2 Ответ 22.
● Решите уравнение 14 25 147
=

y
x
в целых числах.

4
Решение.Числа 147 и –25 взаимно просты, следовательно, уравнение разрешимо в Z. Найдем одночастное решение
147 = (–25)
ڄ(–5) + 22,
–25 = 22
ڄ(–2) + 19,
22 = 19
ڄ1 + 3,
19 = 3
ڄ6 + 1.
1 = 19 – 3
ڄ6 = 19 – 6ڄ(22 – 19) = 7ڄ19 – 6ڄ22 =
= 7
ڄ(– 25 – 22ڄ(– 2)) – 6ڄ22 = 7ڄ(– 25) + 8ڄ22 =
= 7
ڄ(– 25) + 8ڄ(147 + 5ڄ(– 25)) = 8ڄ147 + 47ڄ(– 25). Итак, 1 = 147
ڄ8 + (– 25)ڄ47. Следовательно,
14 = 147
ڄ112 – 25ڄ658. Значит, пара чисел (112; 658) образует частное решение данного уравнения. Следовательно, общее решение



+
=
+
=
,
147 658 25 112
t
y
t
x
где
Z
t

9. Использование конечных цепных дробей
● Решите в целых числах уравнение
0 1
52 Решение. Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби
52 127
;
52 23 2
52 Правильную дробь
52 23
заменим равной ей дробью
23 52 Тогда получим
23 52 1
2 52 127
+
=
. Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью
23 Теперь исходная дробь примет вид
6 23 1
2 1
2 52 Повторяя те же рассуждения для дроби
6 получим
5 6
1 3
1 2
1 2
52 Выделяя целую часть неправильной дроби
5 6
, придем к окончательному результату
5 1
1 1
3 1
2 1
2 52 127
+
+
+
+
=

5 Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби
52 127
:
9 22 9
4 2
4 1
2 1
2
=
+
=
+
+
,
9 52 1
9 52 1144 1143 9
22 52 Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда
0 1
22 52 Из сопоставления полученного равенства с уравнением
0 1
52 127
=
+

y
x
следует, что
9
=
x
,
22
=
y
будет решением этого уравнения, и согласно теореме все его решения будут содержаться в формулах
t
x
52 9
+
=
,
t
y
127 22
+
=
, где Ответ
t
x
52 9
+
=
,
t
y
127 22
+
=
, где НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Метод разложения на множители а) вынесение общих множителей за скобку
● Решите уравнение
0 7
2 3
=

+ xy
x
в целых числах. Решение. Приведем данное уравнение к виду
7
)
2
(
2
=
+ y
x
x
Так как
),
1
(
7
)
7
(
1 1
7 7
1 7



=



=

=

=
то рассмотрим четыре системы
1)



=
+
=
7 2
1 2
y
x
x
2)



=
+
=
1 2
7 2
y
x
x
3)




=
+

=
7 2
1 2
y
x
x
4)




=
+

=
1 2
7 Из каждой системы получаем решения. Ответ б) применение формул сокращенного умножения

● Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55. Решение Запишем условие задачи в виде уравнения или Поскольку
k
n
k
n
+
<

и
,
11 5
55 1
55

=

=
то возможны два случая



=
+
=

55 1
k
n
k
n
или



=
+
=

11 Решая эти уравнения, получим два ответа
27
,
28
=
=
k
n
и Ответ в) способ группировки

● Решите уравнение
6 3
=

+
y
x
xy
в целых числах. Решение Запишем уравнение в виде
3
)
3
(
)
3
(
=
+

+
y
y
x
или
3
)
3
)(
1
(
=
+

y
x
Так как
),
1
(
3
)
3
(
1 1
3 3
1 3



=



=

=

=
то рассмотрим четыре системы
1)



=
+
=

3 3
1 1
y
x
2)



=
+
=

1 3
3 1
y
x
3)




=
+

=

3 3
1 1
y
x
4)




=
+

=

1 3
3 Из каждой системы получаем решения. Ответ г) разложение квадратного трехчлена

● Решите уравнение
11 2
3 2
2
=
+

y
xy
x
в целых числах. Решение. Решим уравнение
0 2
3 относительно неизвестной хи Тогда получаем
11
)
2
)(
(
=


y
x
y
x
Так как
),
1
(
11
)
11
(
1 1
11 11 1
11



=



=

=

=
то рассмотрим четыре системы
1)



=

=

11 2
1
y
x
y
x
2)



=

=

1 2
11
y
x
y
x
3)




=


=

11 2
1
y
x
y
x
4)




=


=

1 Из каждой системы получаем решения. Ответ
);
10
;
21
(
);
10
;
9
(


);
10
;
21
(


д) использование параметра


6
● Решите уравнение
2 9
2 2
2
=
+
+

y
x
xy
x
в целых числах. Решение. Перепишем уравнение в виде
a
a
y
y
x
x
=
+

+


2
)
9 2
(
2 2
и разложим левую часть уравнения на множители как квадратный трехчлен относительно х. Находим дискриминант Очевидно, если
,
121 8
97
=
a
то дискриминант будет полным квадратом. При этом
3

=
a
и
4
)
11 2
(
9 2

±

=
y
y
x
Отсюда
5
,
0 1
=
x
и
5 2

= y
x
. Уравнение принимает вид
3
)
5
)(
1 2
(

=
+


y
x
x
Рассмотрите самостоятельно решение последнего уравнения. Ответ
);
9
;
1
(
);
3
;
1
(

);
8
;
2
(
).
2
;
0
(
  1   2   3   4   5   6   7   8

перейти в каталог файлов
связь с админом