Главная страница
qrcode

доказательства по линейной алгебре. 1. Неравенство Коши-Буняковского


Название1. Неравенство Коши-Буняковского
Анкордоказательства по линейной алгебре.doc
Дата04.02.2017
Формат файлаdoc
Имя файлаdokazatelstva_po_lineynoy_algebre.doc
ТипДокументы
#34326
Каталогtutuchan

С этим файлом связано 33 файл(ов). Среди них: Бухучет. Памятка по счетам и основам.doc, BUKhUChET_Ekzamen_AST.pdf, Менеджмент.docx, ДКОиМП (без ответов).doc, ДКОиМП.docx, Теория игр. Теория к экзамену.docx, Оценка собственности (полная версия).doc, МАКРА. Теория к экзамену.doc, Оценка собственности (сокр.вариант).doc и ещё 23 файл(а).
Показать все связанные файлы

Теоретические вопросы на доказательство:
1. Неравенство Коши-Буняковского.

Скалярным произведением векторов х,у принадлеж. Rn: x=(x1,…,xn), y=(y1,…yn) называется число (х,у)=

Для любых двух векторов а и bв евклидовом пространстве справедливо неравенство



Доказательство:

Возьмем произвольное число t и составим вектор

Тогда

Легко заметить квадратный трехчлен, если =α, =β, а =γ, т.е.



Квадратный трехчлен при любом значении t неотрицателен, поскольку ≥0, следовательно, дискриминант данного трехчлена неположителен.

D= β2- α γ≤0, подставим обратно выражения в неравенство:

- ≤0, или , чтд.
Т.о., нер-во Коши-Буняковского равносильно неравенству
2. Неравенство треугольника.

Для любых двух векторов а и bв евклидовом пространстве справедливо соотношение, называемое неравенством треугольника:


Доказательство:



В силу неравенства Коши-Буняковского, согласно которому ,

2+2+2=(+)2

Извлечем корень из обеих частей этого неравенства без потери знака, т.к. обе части заведомо положительны.

Получим:
3. Линейная независимость лестничной системы векторов.

Предложение: любая лестничная система векторов линейно независима.

Доказательство:

Предположим противное. Тогда один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные. Пусть, например, а линейно выражается через b, c,… , то есть



Но такое равенство невозможно, поскольку первая координата вектора а отлична от нуля, а первая координата вектора равна нулю (из определения лестничной системы векторов первая координата всех последующих векторов равна нулю).

Полученное противоречие доказывает, что линейная система векторов линейно независима.


4. Однозначность разложения вектора по базису.

Предложение: Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.
Доказательство:

Допустим ,что существуют два способа разложения вектора а по базису

Тогда

И

Если вычесть эти два равенства, получим, что



Так как векторы базиса линейно независимы, то они не равны нулю.

Значит, =0, =0, … ,=0

То есть k=l, и существует лишь один способ разложения вектора по базису.
5. Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме.




Используя формулу умножения комплексных чисел вида

,

получим для наших двух комплексных чисел формулу:

= /используя тригонометрические формулы косинуса и синуса суммы/

=
Т.о., для умножения z1 на z2 модули этих чисел следует перемножить, а аргументы сложить.
6. Формула деления комплексных чисел в тригонометрической форме

Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме.



, где z2≠0.

Используя формулу деления комплексных чисел вида

,

получим для наших двух комплексных чисел формулу:

=

/учитывая основное тригонометрическое тождество, согласно которому =1/

= ()+ ()i=

/используя тригонометрические свойства косинуса и синуса суммы и разности/

=
Таким образом, для нахождения частного z1/z2 следует модуль числа z1 разделить на модуль числа z2, а из аргумента числа z1 вычесть аргумент числа z2

7. Существование бесконечного числа решений у системы линейных однородных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.
Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Запишем общий вид однородной системы m уравнений сn неизвестными:

а11х1+ а12х2+…+ а1nхn=0

а21х1+ а22х2+…+ а2nхn=0



аm1х1+ аm2х2+…+ аmnхn=0, где n>m

Применим к системе метод Гаусса.

В процессе преобразований не могут получиться противоречивые уравнения

, где b≠0,

т.к. все свободные члены уравнений – нули.

Значит, после некоторого числа шагов мы получаем систему, где каждому уравнению будет соответствовать свое базисное неизвестное. Но поскольку число уравнений меньше числа неизвестных, то и число базисных неизвестных должно быть меньше числа неизвестных. Следовательно, обязательно имеются свободные неизвестные, а система имеет бесчисленное множество решений.
8. Теорема о пространстве решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.
Совокупность P всех решений однородной системы уравнений является линейным пространством, которое представляет собой подпространство линейного пространства всех вектор-столбцов высоты n.




1).

2).
9. Теорема о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений.

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений имеет вид




, где Х0 – некоторое (частное) решение неоднородной системы уравнений



- общее решение однородной системы

AX=B

A(X0+C1X1+C2X2+…+ CnXn)=AX0+C1AX1+…+CnAXn=AX0=B
Множество решений неоднородной системы линейных уравнений не образует линейного пространства.

10. Формулы Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя переменными.


(Правило Крамера для системы nxn) – Пусть дана система АХ=В из 2 линейных уравнений с 2 неизвестными. То есть у нас получается системы 2х2.

Если |А|≠0, то системы имеет единственное решение:

, где А1 означает матрицу, полученную из А заменой 1 столбца столбцом В, а А2 получена из А заменой второго столбца столбцом В.



11. Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.

Начнем с определения, что такое ортонормированная система.



Здесь доказывается линейная независимость 3х3



12. Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.

- ортогональный базис



13. Невырожденность ортогональной матрицы.


14. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.

А’=T-1AT

Пусть А – матрица линейного преобразования f в базисе .

Предположим, что мы переходим к новому базису, в котором преобразованию отвечает новая матрица А’, а Т есть матрица перехода от исходного базиса к новому базису.

Х=ТХ, где Х – столбец из старых координат разложенного по базису вектора, а Х’ – столбец из новых координат. Аналогично Y=TY’

Учитывая, что Y=AX, Х=ТХи Y=TY’, установим связь между Х’ и Y’.

Y’=T-1Y=T-1AX=T-1ATX’

Отсюдаследует, что матрицей отображения А в новом базисе будет матрица A’=T-1ATX, чтд.
15. Равенство характеристических многочленов подобных матриц.

А

В: Р-1АР


16. Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.



Будем вести индукцию по n. В случае n=1 любое преобразование имеет вид

Поэтому любой ненулевой вектор х является собственным, и доказывать нечего.

Предположим, что утверждение теоремы верно для симметрических преобразований в евклидовом пространстве размерности n-1, и в этом предположении докажем его для евклидова пространства размерности n.

Прежде всего возьмем какое-либо собственное значение λ1 симметрического преобразования f. По теореме о действительности корней уравнения симметрической матрицы λ1 – действительно число. Пусть а1 – соответствующий собственный вектор.



Обозначим через S – множество всех векторов , ортогональных к а1

Так как подпространство S есть ортогональное дополнение к линейной оболочке L(а1), то его размерность равна n-1. Покажем, что это подпространство выдерживает действие f. Это означает, что если , то . Действительно,



Из сказанного следует, что действие f на всем пространстве V можно при желании сузить до действия f на подпространстве S. Применяя предположение индукции, получим, что в S существует ортогональный базис , состоящий из собственных векторов преобразования, т.е.


Вместе с равенством это доказывает нашу теорему.
17. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.

, где х – вектор-столбец.

Х=РY



|P|≠0, B=PTAP

 =YTBT
20. Выпуклость пересечения выпуклых множеств
Лемма: Пересечение нескольких выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Доказательство.Пусть М = LÇN, где L, N выпуклы.

Пусть АÎM и BÎМ => AÎL и BÎL.

L выпуклое => [А,В] Ì L.

Пусть АÎM и BÎМ => AÎN и BÎN.

N выпуклое => [А,В] Ì N.

=> [А,В] Ì М => М - выпуклое.
перейти в каталог файлов


связь с админом