Главная страница

ЛИНАЛ. Зачет. Часть Б. 1. Неравенство Коши-Буняковского


Название1. Неравенство Коши-Буняковского
АнкорЛИНАЛ. Зачет. Часть Б.doc
Дата04.02.2017
Формат файлаdoc
Имя файлаLINAL_Zachet_Chast_B.doc
ТипДокументы
#34318
Каталогtutuchan

С этим файлом связано 33 файл(ов). Среди них: Бухучет. Памятка по счетам и основам.doc, BUKhUChET_Ekzamen_AST.pdf, Менеджмент.docx, ДКОиМП (без ответов).doc, ДКОиМП.docx, Теория игр. Теория к экзамену.docx, Оценка собственности (полная версия).doc, МАКРА. Теория к экзамену.doc, Оценка собственности (сокр.вариант).doc и ещё 23 файл(а).
Показать все связанные файлы

1. Неравенство Коши-Буняковского.

Для любых двух векторов в евклидовом пространстве справедливо неравенство



Доказательство:

, x-произвольное число



по свойству положительной определенности скалярного произведения


2. Неравенство треугольника.

Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей.

Доказательство.

Пусть A, B и С – данные три точки.



Если две токи из трех или все три точки совпадают, то утверждение теоремы очевидно.



Если все точки различны и лежат на одной прямой, то AB + BC = AC. Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше суммы двух других.



Если три точки не лежат на одной прямой докажем, что AC< доказана. Теорема ВС. + AB AC то BC, DC и AD как Так DC. ≤ доказанному По AC. прямую на BD перпендикуляр Опустим>





3. Линейная независимость лестничной системы векторов.

Система векторов в Rn:

= (a1, a2, a3 … an)

= (0, b2, b3 … bn)

= (0, 0, c3 … cn)

Теорема: любая лестничная система векторов линейно независима.

Доказательство: Предположим противное. Тогда один из данных векторов должен линейно выражаться через остальные. Пусть, например, линейно выражается через ,

=k+l

Но такое равенство невозможно, поскольку первая координата вектора отлична от нуля, а первая координата вектора k+l … равно нулю. Полученное противоречие доказывает, что система , , , … линейно независима.
4. Однозначность разложения вектора по базису.

Теорема о базисе. Любая ЛНЗ система векторов из Rn явл. базисом Rn, когда число векторов этой системы равно n.

Док-во. Пусть: { в1, в2, …, вm } ЛНЗ система в Rn, докажем, что m=n 1) m>n. Получим, что система ЛЗ(по теореме об ортогональном векторе), что противоречит условию; 2) m1, в2, …, вm }- базис Rn, то для любого Х ЄRn х=х1в12в2+…+хmвm; m╨вi, i=1,…,n), то увi=0; у ЄRn, тогда у=у1в12в2+…+уmвm, умножим это рав-во на само себя уу=( у1в12в2+…+уmвm)у=у11у1)+у22в2)+…+уmmвm)=0; уу=0, то у=0, а по усл теоремы у≠0, противоречие, значит m
5. Формула умножения комплексных чисел в тригонометрической форме.

Z1=| Z1|(cosφ1 + isinφ1); Z2=| Z2|(cosφ2 + isinφ2)

Z1 · Z2 =| Z1|| Z2|(( cosφ1 cosφ2 - sinφ1 sinφ2 ) + i(sinφ1 cosφ2 + cosφ1 sinφ2)) =

| Z1|| Z2|(cos(φ1+ φ2) + isin(φ1 + φ2));

Для умножения Z1 на Z2 модули этих чисел следует перемножить, а аргументы сложить.

6. Формула деления комплексных чисел в тригонометрической форме.

Z1=| Z1|(cosφ1 + isinφ1); Z2=| Z2|(cosφ2 + isinφ2)

φ12) + isin (φ12)) Z2≠0

Для нахождения частного следует модуль числа Z1 разделить на модуль числа Z2, а из аргумента числа Z1 вычесть аргумент числа Z2.
7. Существование бесконечного числа решений у системы линейных однородных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Теорема: Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство: применим к системе

A11X1 + A12X2

8. Теорема о пространстве решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Теорема о линейности пространства частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения образует линейное пространство.
Док-во
. Требуется доказать, что множество частных решений линейного однородного дифференциального уравнения (25) (или, что тоже самое, (21)), т.е. не менее n раз дифференцируемых функций y(x) для которых Ln(y) = 0, является линейным пространством. Для этого достаточно доказать, что если функции y, y1(x), y2(x) - частные решения (25), то функции Cy, y1(x) + y2(x) - тоже частные решения (25). Действительно, пользуясь свойствами пункта уравнения.
9. Теорема о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений.

Общее решение y(x) линейного однородного дифференциального уравнения есть линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений этого уравнения:

y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x).
Док-во. Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Требуется доказать, что любое частное решение yчо(x) этого уравнения содержится в формуле y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Возьмём любую точку , вычислим в этой точке числа и найдём постоянные C1, C2, …, Cn как решение линейной неоднородной системы алгебраических уравнений
Такое решение существует и единственно, так как определитель этой системы равен . Рассмотрим линейную комбинацию y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) функций из фундаментальной системы решений с этими значениями постоянных C1, C2, …, Cn и сравним её с функцией yчо(x). Функции y(x) и yчо(x) удовлетворяют одному уравнению и одинаковым начальным условиям в точке x0, следовательно, по единственности решения задачи Коши, они совпадают: yчо(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + … + Cn yn(x). Теорема доказана.
Из этой теоремы следует, что размерность линейного пространства частных решений однородного уравнения с непрерывными коэффициентами не превышает n. Осталось доказать, что эта размерность не меньше n.

10. Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных.

Пусть дана система АХ = В n линейных уравнений с n неизвестными. Если Aне равно 0, то система имеет единственное решение:x1=A1/ A ; x2=A2/ A , где Аi, Определители получаются из определителя|А| заменой соответствующего столбца столбцом свобод членов.

Определители второго порядка (ОВП) имеют вид

=.|a b|

|c d|

Связь ОВП со СЛАУ размерностью 2*2: Представим себе СЛАУ размерностью 2*2 следующего вида

а11*х1+а12*х2=a10

а21*х1+а22*х2=a20

Домножим обе части первого уравнения на a22, а обе части второго уравнения на -a12

а11*а22*х1 + а12*а22*х2 = a10*а22

-а12*а12*х1 + -а12*а22*х2 = -a20*а12

Выражаем неизвестную переменную x1 и получаем:

х1 =

В числителе и в знаменателе получившейся дроби мы видим вычисленные ОВП.

Проделаем аналогичную процедуру относительно x2.

Значит, для нахождения решения СЛАУ размерностью 2*2 нужно лишь вычислить ОВП составленные из определенных комбинаций коэффициентов при неизвестных и свободных членов и поделить их друг на друга, таким образом, что в числителе дроби ОВП содержащий свободные члены, а в знаменателе соответственно не содержащий.

Пусть 0. Тогда СЛАУ имеет единственное решение.

Пусть=0, а 1=0 и 2=0. Тогда СЛАУ имеет бесчисленное множество решений.

Пусть =0, а хотя бы один из1, 2 неравен 0, тогда СЛАУ не имеет решений.
11. Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему

Система векторов e1, e2, …, en евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Пример: a1=(0,1), a2=(1,0)

В ортонормиров. сист. векторы ортогональны по определению. Докажем, что они ЛНЗ. Предположим противное, тогда , где не все «лямбда» равны 0. Пусть Умножим рав-во по правилу скалярного произв-ия на а1. Т.к. векторы взаимно ортогональны, т.е. (ai,aj)=0 и т.к. (0,а1)=0, мы получим: , то (a1,a1)=0, и, следовательно, a1=0, что противоречит условию (векторы ненулевые).

Итак, 3 вектора пространства ЛНЗ, следовательно, они являются базисом.

12. Формула для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.

Если  и  взаимно перпендикулярны и их модули равны единице, то базис называется ортонормированным, и мы получим известную нам прямоугольную декартову систему координат на плоскости.

Итак, пусть  – произвольный базис,  и  – любые два вектора. Рассмотрим скалярное произведение этих векторов и преобразуем его, используя ранее доказанные свойства:




Таким образом, для вычисления скалярного произведения двух векторов в произвольном базисе, кроме их координат, надо знать модули базисных векторов и угол между ними. Очевидно, что если базис ортонормирован, то   и мы получим известную формулу для скалярного произведения в ортогональной декартовой системе координат.

13. Невырожденность ортогональной матрицы

Матрица А порядка n*n называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, в противном случае – вырожденная.

Теорема: квадратная матрица А невырождена тогда и только тогда, когда ее определитель |А| не равен нулю.

Квадратная матрица A называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов столбцов является ортонормированной.

(ai,aj)=∑k=1nakiakj= δij

Пусть A - ортогональная матрица.

AT=A-1 –необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A.

ATA=E (по определению), A-1A=E.

А т.к. обратная матрица существует, если А невырожденная, то ортогональная матрица является невырожденной.

14. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.

Пусть  -- линейное преобразование пространства , и  -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда



        Доказательство.     Пусть  -- произвольный вектор пространства ,  -- его образ, то есть . Пусть и  -- координатные столбцы векторов и в старом базисе, а ,  -- в новом. Тогда в силу формулы . Имеем , . Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем . Откуда . С другой стороны, в силу формулы  в новом базисе . Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем .     
15. Равенство характеристических многочленов подобных матриц.

Определение: м. В называется подобной м. С, если существует такая невырожденная м. Т, что выполняется равенство В=Т-1СТ.

Характеристические многочлены подобных мат­риц равны друг другу.

В самом деле, пусть матрица Л подобна матрице В

А = Х-1ВХ.

Тогда для характеристического многочлена Л получаем

Х-1ВХ = | Х-1(λE-B)X| = | Х-1| * | λE-B| * |X|

Определители | Х-1|, |X| взаимно обратны и в произведении дают 1, поэтому:

| λE-А| = | λE-B|

что и требовалось доказать.

Из этой теоремы вытекает, в частности, что подобные матрицы

имеют одинаковые следы и определители, так как след и опреде­литель матрицы, взятые с надлежащими знаками, являются коэффициентами ее характеристического многочлена.
16. Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.

Иначе говоря, если f – симметрическое линейное преобразование и

F(1) = λ11 (1 ≠ 0),

F(2) = λ22 (2 ≠ 0),

Причем λ1≠λ2, то (1, 2) = 0.

Для доказательства воспользуемся равенством

(F(1), 2) = (1, F(2)),

справедливым в силу симметричности f. Из этого равенства следует:

λ1(1, 2) = λ2(1, 2),

и так как λ1≠λ2, то (1, 2) = 0.

18. Вывод уравнения прямой на плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

М000).

Возьмем произвольную точку М (х;у).



Т.к. , то



Нормальное уравнение прямой.

Уравнение прямой можно записать в виде:



Т.к. ;, то:



20. Выпуклость пересечения выпуклых множеств.

Лемма: Пересечение нескольких выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Действительно, пусть М = М1 ∩ М2, где М12 – выпуклы. Докажем выпуклость М.

Пусть А € М и В € М. Тогда А € М1 и В € М1. Так как М1 выпуклое, то это означает, что отрезок АВ содержится М1. Аналогично покажем, что АВ содержится в М2. Значит АВ содержится в М, что означает выпуклость М.

Из леммы следует, что пересечение нескольких полупространств в н-мерном пространстве Т является выпуклым множеством.

перейти в каталог файлов
связь с админом