Главная страница

ЛИНАЛ. Зачет. Часть А. 1. Определение линейного пространства


Название1. Определение линейного пространства
АнкорЛИНАЛ. Зачет. Часть А.doc
Дата04.02.2017
Формат файлаdoc
Имя файлаLINAL_Zachet_Chast_A.doc
ТипДокументы
#34009
Каталогtutuchan

С этим файлом связано 33 файл(ов). Среди них: Бухучет. Памятка по счетам и основам.doc, BUKhUChET_Ekzamen_AST.pdf, Менеджмент.docx, ДКОиМП (без ответов).doc, ДКОиМП.docx, Теория игр. Теория к экзамену.docx, Оценка собственности (полная версия).doc, МАКРА. Теория к экзамену.doc, Оценка собственности (сокр.вариант).doc и ещё 23 файл(а).
Показать все связанные файлы

1. Определение линейного пространства.

Множество V называется линейным пространством, а его элементы 0 веторами, если на нем определены 2 операции:

  • Сложение векторов, означающее, что каждым двум векторам по некоторому правилу ставится в соответствие третий вектор, называемый суммой векторов и обозначается

  • Умножение вектора на число, означающее, что каждой паре, состоящей из вектора и числа λ, ставится в соответствие вектор, называемый произведением λ на и обозначаемый λ.

Указанные операции должны удовлетворять следующим условиям (аксиомам):

1) = +

2) () + = + (+)

3) существует нулевой элемент , такой, что

+= для любого

4) для каждого элемента существует противоположный элемент -, такой, что

+(-) =

5) λ() = λ+ λ

6) (λ+μ) = λ+ μ

7) λ (μ) = (λμ)

8) 1 * =

Где , и - произвольные элементы V, а λ и μ – произвольные действительные числа, которые принято называть скалярами.

2. Дайте определение подпространства линейного пространства.

Пусть V-линейное пространство, а L-произвольное подмножество (LV). Подмножество L называется подпространством линейного пространства V, если оно само является линейным пространством относительно тех же операций сложения и умножения на число, что определены в



Критерии подпространств:

  1. для любых двух векторов из L их сумма также принадлежит L

  2. для любого вектора из L и любого действительного числа λ произведение λтакже принадлежит L

Примеры:

  1. Множество всех многочленов, заданных на отрезке [a;b]-подпространством линейного пространства функций, заданных на этом отрезке.

  2. Множество всех многочленов, степень которых не превышает n-1, является подпространством множества многочленов, степень которых не превышает n.

  3. Множество решений однородной системы линейных уравнений с n неизвестными является подпространством пространства R.

dim V≥dim L, где V-линейное пространство, L-его подпростр-во.

Свойства подпространств:

  • Подпространство линейного пространства есть линейное пространство

  • Размерность подпространства не больше размерности линейного пространства.

  • Если e1, e2, e3 – базис подпространства линейного пространства, то

  • ek+1, ek+2, en  R так что, e1, e2 ek  en – базис в R.


3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов, свойства линейной зависимости.

Система векторов а12,…,аs линейного пространства V называется линейно зависимой, если существуют такие числа с12,…,сs , не равные одновременно нулю, что справедливо равенство с1а1 + с2а2 + … + сsas = 0

Например, 1 = (2;2;3), 2 = (0;-4;5), 3 = (3;13;-8) линейно зависимая система векторов, поскольку =(0;0;0)

Свойства линейной зависимости:

    1. Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда =

    2. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима в том и только в том случае, когда среди данных векторов имеется такой, который линейно выражается через остальные.

    3. Если часть система зависима , то и вся система зависима.

    4. Если система а12,…,аs линейно независима, но при добавлении к ней еще одного вектора становится зависимой, то вектор линейно выражается через а12,…,аs .

Если система векторов а12,…,аs такова, что равенство с1а1 + с2а2 + … + сsas = 0 возможно, только если с12= … =сs = 0, то эта система называется линейно независимой.

4. Определение ранга системы векторов и базиса линейного пространства.

А) Размерность подпространства L(1 2… s) векторов 1 2… s пространства V называется рангом системы векторов 1 2… s и обозначается rk(1 2… s). Таким образом, ранг системы равен r, если среди векторов системы существуют r линейно независимых, а любые q>r векторов данной системы линейно зависимы. Ранг же линейно независимой системы равен числу ее членов.

Б) Система векторов 1,2,3, называется базисом в Rі, если возможны следующие условия:

  1. Эти векторы линейно независимы

  2. Любой вектор Rі является линейной комбинацией векторов данной системы, т.е.=

Базис в Rі - это любая упорядоченная система из 3-х линейно независимых 3-мерных векторов.



  1. Система линейно независимая, поскольку она линейная.

  2. Рассмотрим =(х123) = (х1;0;0) + (0;х2;0) + (0;0;х3) = х1(1;0;0) +х2(0;1;0) + х3(0;0;1) => - линейная комбинация e1,e2 и e3 => {e1;e2;e3} –базис в Rі.

Если система векторов такова, что только с1ā12 ā2+…+сs ās=0 выполняется, только если с12=…=сs, то эта система называется линейно независимой.

Дано: { Ō; ā1; ā2;…; ān}

Доказать: {Ō; ā1; ā2;…;ā} – линейно завис.

Доказательство:

  1. {Ō} – л.з. по св-ву 1є линейной зав-ти.

  2. (1) c0Ō+Оā1+Оā2+…+Оān = 0 c0 ≠ 0 из (1), значит {Ō; ā1; ā2;…,ān} – линейно зависима по определению, ч.т.д.

Пример: {Ō; ā1; ā2}, где ā1 = (1;1;1), ā2 = (2;2;2), с0(0;0;0)+0(1;1;1) + 0(2;2;2) = 0

5. Определение ортогональной системы векторов.

Система векторов в евклидовом пространстве называется ортогональной, если все векторы в ней попарно ортогональны.

Если ортогональная система векторов а12,…,аs не содержит нулевого вектора, то она линейно независима. Действительно, подсистема, состоящая из вектора ā1 линейно независима. Если подсистема а12,…,аs линейно независима, то, присоединяя к ней вектор āt+1 , получим линейно независимую систему. Таким образом мы получим линейную независимость всей системы.

Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если один из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов системы, и линейно независимой - в противном случае.

Определение 1´. Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа с1, с2, …, сk, не все равные нулю, такие, что линейная комбинация векторов с данными коэффициентами равна нулевому вектору: =, в противном случае система называется линейно независимой.

Эти определения эквивалентны.

6. Дайте определение скалярного произведения в Rn.

Скалярным произведением двух векторов a=(a1 , a2 , ..., an) и b=(b1, b2, ..., bn) называется число (a, b)=a1b1+a2b2+ ...+anbn.

Основные свойства скалярного произведения векторов:

1.()=().

2. (k)=k ()

3. (a+ b, c)=(a, c)+ (b, c)

4. ()> 0, если , и если ()= 0, если

cos.=(a, b)/ |вектор а|*|вектор в|

Равенство справедливо при векторе а0 и векторе в0. Однако формула не совсем проста. Уравнениеcos = с, (где - неизвестное число) имеет решение только при –1c1. Поэтому, чтобы данное нами определение угла между векторами было корректным, необходимо сначала убедиться, что (a, b)/ |вектор а|*|вектор в| заключено между -1 и 1.
7. Понятие определенной и неопределенной систем уравнений.

Система уравнений называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.
8. Определение фундаментального набора решений системы уравнений.

Решения системы образуют фундаментальную систему решений, если столбцы образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.

Пусть - фундаментальная система решений однородной системы . Тогда выражение где - произвольные числа, будем называть общим решением системы .

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях . И, наоборот, при любых фиксированных числовых значениях из общего решения получим решение однородной системы.
Базис пространства решений однородной СЛАУ называется фундаментальным набором решений. Чтобы построить фундаментальный набор решений СЛАУ надо решить ее методом Гаусса, найти ее общее решение, выразить базисные переменные через свободные.

После решения СЛАУ методом Гаусса мы получаем общее решение однородной СЛАУ, которая содержит ряд переменных для получения фундаментального набора решений следует подставить в общее решение единицы и нули.

9. Дайте определение ранга матрицы.

Рангом матрицы называется ранг системы векторов, образуемых строками матрицы.

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков миноров матрицы А, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. (Обозначается rk A)

10. Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц.

Матрица А порядка n*n называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, в противном случае – вырожденная.

Теорема: квадратная матрица А невырождена тогда и только тогда, когда ее определитель |А| не равен нулю.

|А| = = -1 0 – невырожденная.

Квадратная матрица A называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов столбцов является ортонормированной.

(ai,aj)=∑k=1nakiakj= δij

Пусть A - ортогональная матрица.

AT=A-1 –необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A.

ATA=E (по определению), A-1A=E.

А т.к. обратная матрица существует, если А невырожденная, то ортогональная матрица является невырожденной.
Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее определитель A=0. (по опр.) Соответственно квадратная матрица A, определитель которой A0, называется невырожденной.

Пусть, например,

Прибавив к первой строке определителя

вторую, умноженную на -3, и третью, умноженную на 5, получим определитель с первой строкой ,который равен 0.

Т.к. при указанных преобразованиях величина определителя не изменилась, то . ч.т.д.
11. Определение ортогональной матрицы.

Ортогональной называют такую квадратную матрицу A, что

A − 1 = AT,

здесь T — операция транспонирования.

Свойства


  • Множество ортогональных матриц порядка n над полем k образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается On(k) или (если k опускается то предполагается ).

  • Определитель ортогональной матрицы равен .

  • Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.

  • Столбцы и строки ортогональной матрицы являются ортонормальными векторами, то есть если дана матрица (A)ij, то



aijaik = δjk

i




и



ajiaki = δjk

i




где и δjk = 1 для j = k и δjk = 0 для .

  • Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

и

12. Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц.

Главные применения матриц связаны м операцией умножения.

Даны две матрицы:

А – размера mn

B – размера nk

Т.к. длина строки в матрице А совпадает с высотой столбца в матрице В, можно определить матрицу С=АВ, которая будет иметь размеры mk. Элемент матрицы С, расположенный в произвольной i-й строке ( i=1,…,m) и произвольном j-м столбце (j=1,…,k), по определению равен скалярному проиведению двух векторов из : i-й строк марицы А и j-го столбца матрицы В:



Свойства:

  1. (АВ)С=А(ВС);

  2. А(В+С)=АВ+АС;

  3. (А+В)С=АС+ВС;

  4. (АВ)=(А)В=А(В);

  5. АЕ=А,ЕА=А.

Как определяется операция умножения матрицы А на число λ?

Произведением А на число λ называется матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента А на λ. Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

13. Определение обратной матрицы и ее свойства.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.

Cвойства обратных матриц


            Укажем следующие свойства обратных матриц:

1)  (A-1)-1 = A;

2) (AB)-1 = B-1A-1

3) (AT)-1 = (A-1)T.

1. Если обратная матрица существует, то она единственная.

2. Не у всякой ненулевой квадратной матрицы существует обратная.

14. Приведите основные свойства определителей. Проверьте справедливость свойства |АВ|=|А|*|В| для матриц

А= и В=
Свойства определителей:

1. Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю.

2. При перестановке двух строк определитель умножается на -1.

3. Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю.

4. Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы некоторой строки определителя А представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителей Б и Д. В определителе Б указанная строка состоит из первых слагаемых, в Д - из вторых слагаемых. Остальные строки определителей Б и Д - те же, что и в А.

6. Величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую строку, умноженную на какое угодно число.

7. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равны 0.

8. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы Ат, т.е. определитель не меняется при транспонировании.
15. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа. Запишите в тригонометрической форме числа √3+i, -1+i.

Каждому комплексному числу z=a+ib может быть поставлен в соответствие вектор (a,b)€R2. Длина этого вектора, равная √a2 + b2 называется модулем комплексного числа z и обозначается через |z|. Угол φ между данным вектором и положительным направлением оси Ox называется аргументом комплексного числа z и обозначается arg z.

Любое комплексное число z≠0 может быть представлено в виде z=|z|(cosφ +isinφ).

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

-1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Каждому комплексному числу Z = a + ib может быть поставлен вектор (а; b), принадлежащий R^2. Длина этого вектора, равная КВ из a^2 + b^2, называется модулем комплексного числа и обозначается через модуль Z. Угол между данным вектором и положительным направлением оси Оx называется аргументом комплексного числа (обозначается arg Z).

16. Запишите формулу Муавра.

zn=|z|n(cosnφ+sinnφ);

=(cos(φ+2πk/n)+isin(φ+2πk/n)) k=0,1,…,n-1.

Корень n-ой степени из комплексного числа принимает n-1 значений.

Формула Муавра применяется для вычисления N-ой степени комплексного числа. Z ⁿ = |Z|ⁿ ( cos nα + i sin nα ). Корнем N-ой степени из комплексного числа Z называется такое число U, что Uⁿ = Z.

Где K = 0, 1, … , N – 1.

Корень N-ой степени из комплексного числа принимает N значений. Комплексные числа, являющиеся корнями степени N из комплексного числа Z , соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного N-угольника, вписанного в окружность радиусом корень N-ой степени из модуля с центром в точке Z=0.

17. Сформулируйте основную теорему алгебры. Решите уравнение х3-64=0

Основная теорема алгебрытеорема о комплексных числах. Комплексное число Z = a + ib, где a и b – действительные числа; слагаемые a и b называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа; символ i, определяемый условием i² = -1, называется мнимой единицей. Комплексные числа вводятся в связи с необходимостью решать уравнения вида X² + 1 = 0.

Теорема: всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которых не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный (т. е. другими словами всегда имеет n корней). У данного уравнения на множестве комплексных чисел существует 3 корня. Чтобы их найти, представлю 64 в тригонометрической форме:

64=64(cos0+isin0).

Тогда xk=3√64(cos(0+2πk/3)+isin(0+2πk/3))=

=4(cos2πk/3+isin2πk/3); k=0,1,2. т. е.

x0=4(cos0+isin0)=4

x1=4(cos2π/3+isin2π/3)=-2+2i√3

x2=4(cos4π/3+isin4π/3)=-2-2i√3

18. Сформулируйте определение линейного преобразования.

Отображение линейного пространства V в себя называется линейным преобразованием, если для любых векторов x, y, принадлежащих V, для любого R выполняются равенства: 1) f(x+y)=f(x)+f(y); 2) f(x)= f(x).

Симметричное отображение относительно прямой x+y=0 в е2.

е1=0*е1-1*е2

е2=-1*е1+0*е2

Линейное отображение удовлетворяет двум условиям линейности. 1) А(У1+У2)=АУ1+АУ2 У- прообраз, V- образ 2) любому вектору У принад. У и любому V любому V: А(λУ)= λАУ. Из условия 1 и 2 следует, что линейное отображение всякой лин. комбинации λ1У1+ λ2У2+….. будет являться линейным отображением.

19.Приведите определение собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

Число λ называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n, если существует ненулевой вектор-столбец R, такой, что А.

Векторы x линейного пространства V называется собственным вектором линейного преобразования V, если выполняется равенство f(x)= x, где  - некоторое число. при этом  называется собственным значением линейного преобразования в A-1x=1/*x.

Доказательство: Ax=x *A-1

A-1(Ax)=A-1(x)

x=(A-1x) A-1x=1/*x,

20. Дайте определение числа и вектора Фробениуса.

Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного преобразования А, соответствующим собственному числу λ , если .

Вместо слов "собственное число" говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Если L - двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования - это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ).
21. Сформулируйте определение канонического и нормального вида квадратичной формы. Как привести квадратичную форму к нормальному виду.

Квадратичной формой от n переменных называется однородный многочлен второй степени от этих переменных. Коэффициенты при этих переменных – действительные числа.

F (x1, x2, x3) = a11x12 + a22x22 + a33x32 + 2a12x1x2 +2a13x1x3 + 2a23x2x3

Квадратичную форму называют канонической, если aij = 0, i  j (если в ней нет смешанных произведений).

Нормальным видом квадратичной формы называют такую каноническую квадратичную форму, у которой коэффициенты при всех переменных равны +/- 1. Чтобы привести квадратичную форму к нормальному виду, надо сначала привести ее к каноническому виду, а затем ввести новые переменные, равные aiixi2.

Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду. Это можно сделать двумя способами. Первый - метод Лагранжа. Он заключается в последовательном выделении квадратов по каждой переменной. Второй – метод ортогональных преобразований. В этом случае ищутся собственные значения матрицы данной квадратичной формы, которые формируют ее канонический базис в главных осях.

22.Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Проиллюстрируйте закон инерции на примере.

Закон инерции квадратичных форм: число положительных квадратов, как и число отрицательных, в любом каноническом виде данной квадратичной формы одно и тоже и не зависит от того, каким невырожденным линейным преобразованием переменных получен канонический вид. Число положительных квадратов в каноническом виде называют ее положительным индексом инерции и обозначают I+, число отрицательных квадратов, I- – отрицательным индексом инерции.

Пример:



здесь p=2, q=1

Эти числа будут постоянными и не будут меняться при изменении линейного преобразования.

23. Критерий Сильвестра.

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0…

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу (aij). Тогда эта форма положительно определена, если и только если все её угловые миноры Δi положительны, отрицательно определена, если и только если их знаки чередуются, причём Δ1 < 0, и неотрицательно определена если и только если все её главные миноры неотрицательны.

.

Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

24. Как найти расстояние от точки до прямой в R2 , от точки до плоскости в R3 , между2 параллельными прямыми в R2.

Расстояние от точки до прямой в R2 :

M=(m1;m2); l: Ax+By+C=0

(M;l)=(Am1+Bm2+C)/(A2+B2);

Расстояние от точки до плоскости в R3

M=(m1;m2;m3); : Ax+By+Cz+D=0

(M;)=(Am1+Bm2+Cm3+D)/(A2+B2+C2)

Расстояние между двумя параллельными прямыми в R2.

l1: Ax+By+C1=0; l2: Ax+By+C2=0

(l1;l2)=(C2-C1)/ (A2+B2)
25. Определение отрезка, теорема об отрезке.

Отрезок прямой — это множество ( часть прямой), состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними. Отрезок прямой, соединяющий две точки и (которые называются концами отрезка), обозначается следующим образом — . Если в обозначении отрезка опускаются квадратные скобки, то пишут «отрезок ». Любая точка, лежащая между концами отрезка, называется его внутренней точкой. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают как .

ТЕОРЕМА:

Отрезок АВ состоит из точек Х, для которых справедливо равенство:

,

где s – любое число из .

26. Дайте определение гиперплоскости в Rn. Каково минимальное число к точек в пространстве R3, через которые можно провести единственную гиперплоскость, ответ обосновать.

Плоскость размерности (n-1) в Rn называется гиперплоскостью. В пространстве R3 единственную плоскость можно провести через 3 точки. это так, поскольку гиперплоскость в трех мерном пространстве – это обычная плоскость, а плоскость в R3 задается уравнением: Ax+By+Cz+D=0, где (x;y;z) – координаты точки принадлежащей плоскости. Плоскость в R3 задается 3 точками.

Пусть k – натуральное число, А – фиксированная точка в n-мерном пространстве Т и - набор линейно независимых векторов из линейного пространства V. Множество точек Х вида

,

где - любые числа, называется k-мерной плоскостью в Т.

Плоскости размерности n-1 носят название гиперплоскостей.

27. Определение и свойства выпуклого множества.

Множество F подмножества Аn называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками А и В оно содержит весь отрезок АВ. а) Выпуклое множество, имеющее вершину-∆. б)Выпуклое множество, не имеющее вершины - круг. Неограниченное выпуклое множество может иметь вершину. Множество точек линейного пространства, удовлетворяющих линейному неравенству, является выпуклым. Доказательство: Пусть полупространство П задано неравенством Рассмотрим

Докажем, что









(1). Значит, (1)≥0 и

28. Дайте определение кривой второго порядка. Напишите канонические уравнения эллипса, параболы и гиперболы.

Кривой второго порядка на плоскости А2 называется множество точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют уравнению вида а11х2+2а12ху+а22у2 +2а10х+2а01у+а00=0, где а11, а12, а22, а10, а01, а00 – некоторые действительные числа неравные нулю одновременно.

Каноническое уравнение эллипса: x2/a2+y2/b2=1, ab (b2=a2-c2, a0)

Каноническое уравнение параболы: y2=2px

Каноническое уравнение гиперболы: x2/a2-y2/b2=1, b=(c2-a2)
29. Понятие канонической и стандартной задач линейного программирования.

Задача линейного программирования (ЛП), как уже ясно из сказанного выше, состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.

Общая форма задачи имеет вид: найти при условиях



где



Здесь и далее нам удобнее считать с и аі вектор - строками, а x и b=(b1,...,bm)T - вектор столбцами.

Наряду с общей формой широко используются также каноническая и стандартная формы. Как в канонической, так и в стандартной форме



т.е. все переменные в любом допустимом решении задачи должны принимать неотрицательные значения (такие переменные принято называть неотрицательные в отличие от так называемых свободных переменных, на область значений которых подобное ограничение не накладывается). Отличие же между этими формами состоит в том, что в одном случае I2 = 0, а в другом - I1 = 0.

Задача ЛП в канонической форме:



(2.1)



(2.2)






(2.3)

Задача ЛП в стандартной форме:



В обоих случаях А есть матрица размерности m x n, i-я строка которой совпадает с вектором аi.

Квадратичная форма имеет канонический вид, если она не содержит произведений переменных.

Квадратичная форма имеет нормальный вид, если все коэффициенты при квадратах по модулю равны 1. Наиболее простой способ приведения квадратичных форм к нормальному виду – метод Лагранжа.

30. Первая теорема двойственности.

Если исходная задача имеет оптимальное решение, то и двойственная ей также имеет оптимальное решение. При этом оптимальные решения целевых функций обеих задач равны, т.е. .

Вторая теорема двойственности

Оптимальные решения пары двойственных задач связаны между собой след. равенствами:

Решение двойственной ЗЛП можно получить из последней симплексной таблицы исходной задачи по формуле , где -вектор-строка, координаты которого равны коэффициентам целевой функции исходной задачи при базисных переменных последней симплексной таблицы, а В-1 – матрица, составленная из столбцов, соответствующих базисным переменным в первой таблице.

2способ:- вектор-строка, координаты которого равны значениям оценочной строки последней таблицы, соответствующий базисным переменным исходной таблицы, а -вектор-строка, координаты которого равны коэффициентам целевой функции при базисных переменных исходной таблицы.

Исходная задача:

Двойственная задача:
перейти в каталог файлов
связь с админом