Главная страница
qrcode

МАТАН. Зачет. Теория. 15. Дайте определение предела функции в точке. Найдите, исходя из определения, Определение


Название15. Дайте определение предела функции в точке. Найдите, исходя из определения, Определение
АнкорМАТАН. Зачет. Теория.doc
Дата04.02.2017
Формат файлаdoc
Имя файлаMATAN_Zachet_Teoria.doc
ТипДокументы
#34320
Каталогtutuchan

С этим файлом связано 33 файл(ов). Среди них: Бухучет. Памятка по счетам и основам.doc, BUKhUChET_Ekzamen_AST.pdf, Менеджмент.docx, ДКОиМП (без ответов).doc, ДКОиМП.docx, Теория игр. Теория к экзамену.docx, Оценка собственности (полная версия).doc, МАКРА. Теория к экзамену.doc, Оценка собственности (сокр.вариант).doc и ещё 23 файл(а).
Показать все связанные файлы

15. Дайте определение предела функции в точке. Найдите, исходя из определения, 

Определение: Пусть ф-я определена в некоторой проколотой окрестности точки . Пределом ф-и y = f(x) в точке  (или при ) называют число а, такое, что для любой последовательности  значений аргумента, сходящейся к  (при этом все ), последовательность  значений ф-и сходится к числу а.

   1, n 


16. Докажите, что предел суммы двух ф-й равен сумме их пределов, если последние существуют.

Теорема: Пусть существуют пределы .

Тогда 

Д-во: Рассмотрим  при . Рассмотрим  (по теореме о пределе суммы двух последовательностей) = 
17. Докажите, что ф-я  не имеет предела в точке x = 0.

Пусть  

   



Т.к   Предел ф-и не существует
45. Найдите многочлен Тейлора  функции  в точке  , 







18. Дайте определение предела функции при .Докажите, что функция = не имеет предела при.

Определение: Пусть ф-я  определена в интервале (b,. Если существует число а такое, что для всякой б.б последовательности , все члены которой больше b, предел  равен числу а, что число а называется пределом ф-и  при. Обозначение 

Рассмотрим значения n,при которых 

 

=  





Т.к    не существует
19. Дайте определения односторонних пределов функции в точке. Что можно сказать об односторонних пределах ф-и  в точке , если известно, что 

Определение: Пусть ф-я  определена в интервале (при  относительно множества (Тогда указанный предел называется правосторонним пределом функции  в точке 

Пусть ф-я  определена в интервале (при  относительно множества (Тогда указанный предел называется левосторонним пределом функции  в точке 



Если , то для любой последовательности , . В частности для последовательности (, а для последовательности   (  Следовательно,  
22. Дайте определение функции, непрерывной в точке. Найдите значение а, при котором функция 

является непрерывной в точке .

Определение: Функция , определённая в некоторой окрестности точки  называется непрерывной в точке ,если существует предел функции в этой точке и верно равенство .

 0 (т.к х – б.м,  – ограниченная)

Ф-я  непрерывна, если  = 0  а = 0
23. Дайте определение точки разрыва функции. Приведите примеры функций, для которых  является: а) точкой разрыва 1 рода со скачком равным 2, б) точкой разрыва 2 рода

Разрывы бывают 1-го или 2-го рода. Точка называется точкой разрыва1-го рода для ф-и , если существуют конечные пределы ,, но одно из равенств . Разрыв 1-го рода называется устранимым, если , иначе, разрыв называется неустранимым. Остальные разрывы называются разрывами 2-го рода.

а) Пример: 

 

Разрыв 1-го рода, скачок = 1 - (-1) = 2

б) Примеры:

1. 

 



 не существует,  не сущ.
44. Дайте определение многочлена Тейлора  функции  в точке . Чему равны производные в этой точке?

 

















24. Сформулируйте теорему о существовании нуля непрерывной функции. Используя эту теорему, докажите, что уравнение  имеет корень на отрезке .

Теорема: Если ф-я непрерывна на отрезке  и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то внутри отрезка она имеет по крайней мере один нуль.

 = 

,  

По теореме о существовании нуля непрерывной ф-и , 
Определение: Производной функции  в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента



при условии, что указанный предел существует.
25. 





=
26. 






27. ; 






28 







29 






30  

  1. При  









  1. При  


31. Следует ли из существования производной функции в точке её непрерывность в этой точке? Ответ обоснуйте.

Определение 1: Функция  имеет производную в точке , если существует  , где .

Определение 2: Функция  непрерывна в точке, если 

Теорема: Если  имеет производную (дифференцируема) в точке , то  непрерывна в точке.

Д-во: Необходимо доказать, что 





Д-во 2( по лекциям): Обозначив через А предел имеем для подходящей бесконечно малой функции : . Тогда в силу ограниченности ф-и  в некоторой окрестности точки  имеем , но это и означает непрерывность функции в точке .
32. Сформулируйте и докажите теорему о производной суммы двух функций.

Теорема: Если существуют производные U’(), V(),то существует производная ф-и U(x) +V(x) в точке  и (U + V)’) = U’() + V’()

Д-во:





 U’() + V’()
33. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.

Теорема: Если существуют производные U’() и V(), то существуют производные ф-и U(x) V(x) в точке  и (UV)’) = U’()V’()

Д-во:

  U’()+ U’(
34.Дайте определение дифференциала функции  в точке . Используя дифференциал найдите приближённое значение величины:

Определение: Дифференциалом функции  в точке называется выражением вида  линейная часть относительно  приращения функции; обозначается .













35. Определение: Дифференциалом функции  в точке называется выражением вида  линейная часть относительно  приращения функции; обозначается . 












Дайте определение эластичности функции в точке. Найдите эластичность функции  в точке :

Определение: Эластичностью функции  в точке  называется предел



Это число называется также коэффициентом эластичности y по x.
36. 




37. 



38. Докажите, что эластичность произведения двух ф-й равна сумме их эластичностей.





E(UV) = +
39. Дайте определение и сформулируйте необходимое условие локального экстремума функции одной переменной. Приведите пример функции, для которой это условие выполнено в некоторой точке, но экстремум отсутствует.

Определение: Точка называется точкой максимума (локального максимума), если существует такая окрестьность (а;в)  ( такая что 

Теорема: Если  является точкой экстремума, то  не существует или  равно нуля.

Пример: 




40. Сформулируйте теорему Ролля. Можно ли утверждать, что производная функции  обращается в нуль в некоторой точке интервала (0;4)

Теорема: Пусть функция :

  1. Непрерывна на отрезке 

  2. Дифференцируема на интервале ()

  3. 

Тогда существует точка с() в которой .





 По теореме Ролля существует такая точка с(0;4) в которой 
41. Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если  на интервале (), то функция  постоянна на этом интервале.

Теорема: Пусть ф-я  непрерывна на отрезке  и дифференцируема на интервале (). Тогда существует точка с(), в которой 

Д-во: Необходимо доказать, что .

На отрезке  выполняется условие теоремы Лагранжа существует точка с(), что 


42. Используя теорему Лагранжа, докажите, что если  на интервале (), то функция  возрастает на этом интервале.

Требуется доказать, что для любых точек  ()

 

На промежутке  выполняется условие теоремы Лагранжа, следовательно, , что   ; 
43. Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых

функций. Получите из этой теоремы утверждение теоремы Лагранжа.

Теорема: Пусть функции  и  непрерывны на отрезке  и дифференцируемы на интервале (). Пусть, кроме того,  на (). Тогда существует точка с() такая, что .

Пусть 


перейти в каталог файлов


связь с админом