Главная страница

Богданов - Прогулки с физикой. А. И. Черноуцан (ученый секретарь)


Скачать 7,32 Mb.
НазваниеА. И. Черноуцан (ученый секретарь)
АнкорБогданов - Прогулки с физикой.pdf
Дата20.10.2017
Размер7,32 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаBogdanov_-_Progulki_s_fizikoy.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипКнига
#5449
страница9 из 10
Каталогid187134627

С этим файлом связано 79 файл(ов). Среди них: Zubrilina_S_N_-_Spravochnik_po_yuvelirnomu_delu_Spravochnik_-_20, Russkiy_graficheskiy_diazayn_-_1880-1917.pdf и ещё 69 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Итак, казалось бы, мы сделали все, чтобы как можно быст- рее спуститься на первый этаж. Но, так ли это?
Забегая вперед, успокою всех тех, кто нажимает обе кнопки днем или поздно вечером. Действительно, вызывая оба лифта сразу не в часы пик, вы ускоряете свой спуск вниз. Однако одновременный вызов всеми двух лифтов в часы пик не только не дает выигрыша, но может даже удлинить ожидание на лестничной площадке. Думаю, что у большинства читателей такое предостережение «нажимающим две кнопки» вызвало улыбку. По их мнению, этого просто не может быть!
Что общего между рыбалкой и вызовом лифта? А вот и простой довод в защиту «нажимающих две кнопки» – нажимая обе кнопки, мы увеличиваем в два раза вероятность того, что хотя бы один лифт появится в течение, скажем, одной минуты после нажатия кнопок. Другими словами, рыбак с двумя удоч- ками скорее поймает свою первую рыбку, чем рыбак, у которо- го только одна удочка. Но верно ли такое сравнение? Если и есть аналогия между вызовом обоих лифтов и рыбной ловлей,
то она довольно необычная. Во-первых, рыбок (лифтов) в пруду должно быть только две, а во-вторых, каждый поймав- ший рыбку должен отпустить ее обратно в пруд, затратив на это какое-то время (открывание и закрывание дверей). А что если все рыбаки закинут по две удочки (нажмут две кнопки)?

Быстрее ли они поймают такую «золотую» рыбку, плывущую вдоль берега пруда туда и обратно?

150
Наверное, читатель уже достаточно запутался, и пришло время обратиться за помощью к компьютеру. Очевидно, что вопрос «о двух кнопках» не единственный, на который мог бы ответить компьютер. А как, например, зависит время ожидания лифта (ВОЛ) от этажности дома или от того, с какого этажа сделан вызов? Как изменяется ВОЛ при постановке одного из лифтов на плановый ремонт? Когда ВОЛ начинает зависеть от грузоподъемности лифта?..
Устроим все так. Чтобы ответить на некоторые из этих вопросов, попробуем смоделировать события, происходящие при эксплуатации лифта в течение часа (с 8 до 9 утра, напри- мер), когда на каждую из 16 лестничных площадок подъезда
17-этажного дома выходят 8 человек и вызывают лифт (один или оба), чтобы спуститься на первый этаж. Будем считать, что если в момент очередного вызова лифт уже двигался (выполняя один из предыдущих вызовов), то новый вызов заносится в память лифтового компьютера, который составляет очередь заказов для последующего выполнения. Каждый из двух лифтов обладает информацией только об очередности своих будущих заказов и ничего не знает о том, где находится и какие заказы выполняет другой лифт. Поэтому один из лифтов может прибыть по вызову на этаж спустя, например, одну секунду после того, как всех людей оттуда забрал другой лифт. Другими словами, наши лифты лишены какого-либо интеллекта.
Рассмотрим две ситуации, в первой из которых вероятность появления человека у лифта будет постоянна, т.е. не будет зависеть от времени в течение данного часа (см. «равномерное»
распределение на рисунке 108,а), а во второй она будет макси- мальна в середине часа, т.е. в 8 ч 30 мин (см. «нормальное»
распределение на рисунке 108,б). Зададим также следующие параметры лифта: скорость v = 0,5 этаж/с; время на открывание и закрывание дверей T = 10 с; грузоподъемность – 4 человека.
Для простоты допустим, что в 8:00 оба лифта находятся на первом этаже и ждут вызова.
Теперь попросим компьютер выдать «случайную» последова- тельность появления людей в лифтовых холлах на всех этажах подъезда, а первого из них – нажать на кнопки вызова лифта. Не принуждая к выбору того или иного лифта, мы лишь будем
«следить», одну или обе кнопки нажал «человек», и вычислять время ожидания им лифта, а также остальные параметры его эксплуатации. При этом мы сможем управлять средней величи- ной отношения случаев, когда были нажаты обе кнопки, к общему числу вызовов лифтов.

151
Итак, эксплуатация лифтов началась. Для простоты будем считать, что первый этаж имеет номер 0, второй – номер 1 и т.д.
(Кстати, такая нумерация принята в некоторых странах Европы и Северной Америки, где первый этаж в нашем понимании называют «земляным».) Тогда очевидно, что ВОЛ человеком,
который самым первым вышел из своей квартиры в подъезде,
равно отношению номера этажа F, где расположена его кварти- ра, к скорости движения лифта v. Если за время ожидания
Рис.108. Зависимость количества жильцов (вертикальная ось), выхо- дящих на лифтовые площадки 17-этажного дома каждую минуту, от времени между 8:00 и 9:00 утра (горизонтальная ось, в минутах).
Черные столбцы – пример для одного из 365 дней года, пунктирная кривая – усредненное по 365 дням значение. Время выхода жильцов на лифтовые площадки задавалось генератором случайных чисел компь- ютера, предполагая их равномерное распределение (а) или нормальное распределение (б). С каждого этажа в течение этого часа лифт вы- зывают 8 человек

152
лифта на лестничную площадку выйдет еще кто-нибудь, то ему
(или ей) повезет, так как соответствующее ВОЛ будет меньше,
чем у человека, уже вызвавшего лифт. На посадку уходит T
секунд, после чего лифт начинает движение вниз. Приближаясь к каждому этажу, компьютер лифта проверяет, есть или нет вызова с данного этажа, и если есть, то останавливается,
открывает и закрывает двери, после чего продолжает движение.
Достигнув уровня нулевого этажа, все пассажиры лифта выхо- дят, а наш компьютер заносит в память, сколько он проехал этажей, какое потратил время и какова была загрузка во время данного рейса. Кроме этого, для каждого из исполненных вызовов программа вычисляет ВОЛ, хранит в памяти информа- цию о том, одна или обе кнопки были нажаты, а также с какого этажа был сделан вызов. После этого лифт готов подняться по очередному вызову, и так происходит, пока все вызовы, посту- пившие в течение часа, не будут исполнены.
Для того чтобы сделать результаты такого моделирования более достоверными, попросим компьютер проследить за этим часом работы двух лифтов в течение 365 дней, каждый раз случайным образом задавая последовательность выхода людей из своих квартир, а полученные данные усреднить.
Жмем только одну кнопку и рассуждаем об очереди.
Сначала посмотрим, сколько времени (в среднем) люди ждут прихода лифта. Как показало моделирование, если жильцы
17-этажного дома вызывают только один из двух лифтов и их выбор равновероятен, то средняя величина ВОЛ составляет 59 и
180 секунд для распределений, изображенных на рисунке 108,а и 108,б соответственно. Очевидно, что трехкратное увеличение
ВОЛ при «нормальном» распределении моментов выхода людей к лифту вызвано более чем двукратным увеличением числа людей, вызывающих лифт в минуты, близкие к середине часа, по сравнению с «равномерным» распределением. Отметим, что даже при «равномерном» распределении, когда каждую минуту в среднем 2,1 человека вызывают лифт, почти всегда существует очередь, состоящая из нескольких вызовов. Заметим, что здесь речь идет об очереди вызовов лифта, хранящейся в его компью- тере, а не о группах людей, ожидающих вместе на одной лестничной площадке прихода лифта.
Если бы очереди не существовало, а количество этажей в доме было N, то, как легко подсчитать, среднее ВОЛ достигло бы своего минимума и составило min ВОЛ
2
N
v
. (1)

153
Для 17-этажного дома min ВОЛ = 17 с (а не 59 с, как на самом деле). Возникновение очереди связано с тем, что среднее время обслуживания одного пассажира, равное
2 min ВОЛ
2 54
T

с, почти в два раза превышает среднее время между вызовами лифта (28 с). Существование двух лифтов не спасает положения, так как, нажимая на кнопку, мы не знаем, свободен лифт или нет. Очевидно, что с ростом этажности дома увеличивается и очередь ожидающих вызовов, а вместе с ней – и среднее ВОЛ, если количество жильцов на этаже и характеристики лифта остаются прежними.
Вот как выглядит зависимость времени ожидания лифта от этажности дома при вызове одного из двух лифтов (моменты выхода в лифтовый холл имеют равномерное распределение):
Как и следовало ожидать, ВОЛ растет от 13 с для 8-этажного дома до 197 с в 21-этажном доме.
В отсутствие очереди ВОЛ должно линейно зависеть от номера этажа F, с которого делается вызов, так как лифт всегда приходит с этажа «0» и затрачивает на это F/v секунд. Однако реальная зависимость ВОЛ от номера этажа далека от линейной.
На рисунке 109 приведены данные компьютерного моделирова- ния, показывающие, что для всех этажей реальная кривая лежит гораздо выше той, которая соответствует отсутствию очереди.
Бросается в глаза непропорциональное увеличение ВОЛ для верхних этажей дома – оно достигает почти трех минут для этажа
«16». Все это говорит о том, что от очереди лифтовых вызовов страдают жильцы всех этажей, но особенно те, кто живет наверху.
Посмотрим, как будет зависеть ВОЛ от номера этажа в дождливый воскресный день, когда большинство жильцов пред- почтут остаться дома и только 25% выйдут из дома. Очевидно,
что в этом случае очередь из вызовов должна значительно укоротиться, а зависимость ВОЛ от номера этажа – приблизить- ся к линейной. Как показало компьютерное моделирование,
«воскресная» зависимость (нижняя кривая на рисунке 109)
действительно очень близка к зависимости минимального ВОЛ
от номера этажа, проходя выше лишь на несколько секунд.
Таким образом, даже если в течение часа один из двух лифтов вызывают только 32 человека, их вызовы, тем не менее, могут накладываться друг на друга, образуя очередь, и в результате

154
среднее (за 365 воскресений)
ВОЛ становится слегка выше его минимального значения.
Почему наверху приходит- ся дольше ждать лифт. Как иллюстрирует верхняя кривая на рисунке 109, жители верх- них этажей нашего дома могут раз в пять дольше ждать лиф- та, чем жители первых 8–10
этажей. И дело здесь, конеч- но, не в том, что лифт дольше идет до верхних этажей, чем до нижних, – эта «кинемати- ческая» разница составляет не более 30 секунд. Откуда же берутся еще 110 секунд задерж- ки в обслуживании жильцов верхних этажей? Ответ тот же
– очередь. Оказывается, оче- редь для вызовов, поступив- ших с верхних этажей, всегда длиннее. И вот почему.
Очевидно, что для «равно- мерного» распределения веро- ятность того, что нажавший кнопку вызова через время
F/v увидит перед собой от- крывающиеся дверцы лифта,
не зависит от номера этажа F,
а равна отношению времени,
которое лифт проводит на эта- же «0» в ожидании вызовов, к суммарному времени его рабо- ты, т.е. к 3600 секундам. Од- нако сесть в лифт можно не только в тот, который сам вызвал,
но и в опускающийся сверху и проходящий мимо твоего этажа.
Здесь-то и становится заметным преимущество тех, кто живет в нижних этажах, – они садятся в лифты, соответствующие более ранним заказам, но сделанным жильцами более высоких этажей.
Возможность сесть в проходящий лифт укорачивает очередь лифтового компьютера, но «усиливает» несправедливость для жителей верхних этажей – их вызовы продолжают накапливать-
Рис.109. Зависимость среднего вре- мени ожидания лифта (вертикаль- ная ось, в секундах) от номера эта- жа (горизонтальная ось) с кото- рого был сделан вызов. Данные по- лучены с помощью компьютерного моделирования и усреднения по 365
дням для 17-этажного дома, пред- полагая равномерное распределение моментов появления жильцов на лифтовых площадках и вызов ими одного из двух лифтов. Верхняя кривая соответствует случаю, ког- да количество жильцов, вызываю- щих лифт с каждого этажа, равно
8, более нижняя кривая – то же, но когда количество жильцов, вызыва- ющих лифт с каждого этажа,
уменьшается с 8 до 2 человек. Пря- мая линия – это минимально воз- можное время ожидания лифта, со- ответствующее отсутствию оче- реди

155
ся в его памяти. Это и является причиной непропорционально большого роста ВОЛ для тех, кто живет близко к крыше,
объясняя зависимость, полученную при моделировании (см.
верхнюю кривую на рисунке 109).
Попробуем вызывать сразу оба лифта. Ну а теперь попро- сим всех жильцов нажимать обе кнопки вызова лифта. Как и предполагалось, компьютерное моделирование показывает, что вызов одновременно двух лифтов не ускорит приход на работу или учебу жильцов нашего 17-этажного дома, а среднее ВОЛ при этом увеличится с 59 до 70 секунд. «Ну и что? А вдруг это ошибка программы?» – скажет читатель. Действительно, трудно поверить, что, вызывая оба лифта, мы делаем себе хуже. Но отметим, что выигрыш от на- жатия обеих кнопок исчезает только в том случае, когда
ВСЕ нажимают обе кнопки.
Когда же процент жильцов,
вызывающих сразу оба лиф- та, невысок (от 1 до 5%), то эти жильцы почти в два раза меньше, чем остальные, ждут прихода лифта – см. ниж- нюю кривую на рисунке 110.
Посмотрите теперь на верх- нюю кривую на этом рисунке
– она показывает, как стра- дают от того, что кто-то вы- зывает сразу два лифта, те,
кто по-прежнему нажимают только одну кнопку. Видно,
что выигрыш тех немногих,
кто нажимает обе кнопки,
происходит за счет замедления обслуживания всех остальных жильцов дома.
Из рисунка 110 видно, что когда 80% жильцов жмут на обе кнопки, они уже ничего не выигрывают по сравнению с тем случаем, когда все вызывают только один какой-нибудь лифт.
Почему же с ростом числа людей, вызывающих оба лифта, их обслуживание может замедляться? Ответ очень прост. Нажимая обе кнопки, мы искусственно увеличиваем длину очереди для жильцов, выходящих к лифтовым холлам позже нас. А если кто- то нажал обе кнопки на другом этаже до того, как это сделали мы, то длина очереди увеличивается и для нас.
Рис.110. Зависимость времени ожи- дания лифта (вертикальная ось, в секундах) от доли жильцов (гори- зонтальная ось, в %), вызывающих сразу оба лифта. Верхняя кривая
– для тех, кто вызывает только один лифт, нижняя – для вызыва- ющих оба лифта

156
Однако такая несправедливость при нажатии обеих кнопок –
когда одни лезут без очереди, а вторые страдают от этого –
исчезает, если очереди на обслуживание нет, т.е. при относитель- но редком появлении жильцов на лестничных площадках. На- пример, если, спускаясь вниз поздно вечером, все подписчики вечерних газет (25% всех жильцов) будут нажимать на обе кнопки, то они в среднем будут ждать лифта только 13 секунд,
по сравнению с 19 секундами в случае вызова одного лифта. По той же причине в выигрыше от одновременного нажатия двух кнопок будут и жители мало- этажных домов. Моделирова- ние показало, что наибольший выигрыш от нажатия двух кно- пок в этих случаях получают жители верхних этажей. Рису- нок 111 демонстрирует, что для вызовов с этажа «16» нажатие двух кнопок позволяет сокра- тить ВОЛ с 35 до 24 секунд. В
то же время, одновременный вызов двух лифтов с первых четырех этажей практически не дает никакого выигрыша по сравнению с вызовом одного из них. Более того, среднее значение ВОЛ для этажа «16»
становится на 8 секунд мень- ше, казалось бы, минималь- ной величины ВОЛ, равной
F/v = 32 с. Неужели компью- терная программа нас водит за нос? Нет! Просто формула для минимального значения ВОЛ была нами выведена для вызова одного лифта, а для вызова обоих она несправедлива. И вот почему.
При нажатии каждым только одной кнопки лифт на после- дний этаж может прийти только с этажа «0». Если все нажимают по две кнопки, то где-то ниже этажа «16» обязательно возникнет ситуация, когда пустой лифт придет по вызову, а пассажира,
сделавшего вызов, уже не будет, так как он уехал на прибывшем ранее другом лифте. В этом случае лифт останется на данном этаже ждать следующего вызова, и если он будет с этажа «16»,
то ВОЛ будет ниже 16/v, так как лифту потребуется меньше
Рис.111. Зависимость времени ожи- дания лифта (вертикальная ось, в секундах) от номера этажа (гори- зонтальная ось), с которого сделан вызов, для «подписчиков вечерних газет», когда количество вызовов в час с каждого этажа сокращается с 8 до 2. Верхняя (более крутая)
кривая – при вызове одного из двух лифтов, нижняя – при одновремен- ном вызове обоих лифтов

157
времени, чтобы добраться до этажа «16». Поэтому по воскресе- ньям нажатие двух кнопок и дает больше преимуществ жильцам верхних этажей.
Но за воскресеньем всегда приходят будни, а с ними – и очереди лифтовых вызовов. Вот как выглядит зависимость ВОЛ
при нажатии обеих кнопок от этажности дома:
Если верить результатам компьютерного моделирования, приве- денным в этой таблице, то жильцам многоэтажных домов с количеством этажей 17 и выше не выгодно вызывать два лифта сразу, так как среднее ВОЛ при этом возрастает по сравнению с нажатием только одной кнопки.
Этот результат уже не кажется удивительным, так как несколько раньше мы с читателем пришли к заключению, что вызов обоих лифтов ускоряет обслуживание только тогда, когда средний интервал между выходом жильцов из своих квартир
(СИВ) превышает среднее время их обслуживания лифтом
(СВО). Для восьмиэтажного дома СИВ равен 64 с, а СВО
можно вычислить, прибавив к двум минимальным ВОЛ удвоен- ное время открывания-зак- рывания дверей, что дает
36 с. Значительное превы- шение СИВ над СВО не дает возникнуть очереди в 8-этаж- ном доме и делает выгодным нажатие сразу двух кнопок.
В 17-этажном доме СИВ ра- вен 28 с, составляя только половину величины СВО
(54 с), что и служит причи- ной возникновения длинных очередей, делая одновремен- ный вызов обоих лифтов не- выгодным.
Жильцам верхних эта- жей опять не везет. Мы уже знаем, что жильцы верхних
Рис.112. Зависимость времени ожи- дания лифта (вертикальная ось, в секундах) от номера этажа (гори- зонтальная ось), с которого он выз- ван. Верхняя (более пологая) кри- вая – все жильцы вызывают один из двух лифтов, нижняя – все вызы- вают оба лифта

158
этажей вынуждены простаивать в ожидании лифта гораздо дольше, даже если все в подъезде вызывают только один из двух лифтов. Не везет им и в том случае, когда все жмут две кнопки.
Как зависит ВОЛ от номера этажа в 17-этажном доме, показано на рисунке 112. Видно, что одновременный вызов двух лифтов позволяет жильцам нижних этажей (вплоть до «11») уменьшить
ВОЛ, однако, начиная с этажа «13» то же дает противополож- ный результат, а для жильцов этажа «16» нажатие двух кнопок приводит к увеличению ВОЛ почти в два раза.
Причиной такой несправедливости по отношению к жителям верхних этажей является то же, что делало несправедливым наше «лифтовое» общество, когда все вызывали только один из двух лифтов, т.е. очередь. Для многих вызовов с нижних этажей она отсутствует или очень невелика, так как можно «пройти без очереди», воспользовавшись проходящим мимо лифтом. Жиль- цы сверху пройти без очереди не могут и вынуждены отстоять ее всю. Поэтому, когда все начинают давить сразу на обе кнопки,
больше всего страдают те, кто сверху.
Подведем итоги. Компьютерное моделирование эксплуата- ции лифта в 17-этажном доме, где на каждом этаже 8 человек,
чтобы спуститься вниз, вызывают лифт в течение часа, убедило нас, что вызывать сразу два лифта выгодно, если это делает небольшая группа людей (1–5%). При этом выигрыш во времени ожидания лифта у этой маленькой группы достигается за счет замедления обслуживания остальных жильцов. Когда число вызывающих сразу два лифта вырастает до 50%, то их выигрыш уменьшается вдвое. Ну а если обе кнопки нажимают все, то время ожидания лифта даже увеличивается, и особенно для жителей верхних этажей. Таким образом, стратегия, принося- щая выигрыш небольшой группе людей, перестает быть таковой,
когда она охватывает все общество.

159
ГЛАВА 18
КИНЕТИКА СОЦИАЛЬНОГО
НЕРАВЕНСТВА
Общество можно представить как пирамиду, на вершине которой находится его элита, состоящая из людей,
обладающих властью и большими материальными ценностями, а нижние этажи отведены, как принято говорить, простым людям.
Зависть многочисленных жителей нижних этажей к богатству тех немногих, кто оказался на самом верху, часто бывает трудно отличить от любви к справедливости. Так как элита общества расставаться со своими богатствами не собирается, то законное стремление простых людей жить лучше всегда наталкивается на сопротивление жителей верхних этажей этой пирамиды. Таким образом, пирамида нашего общества – вечный повод для револю- ционной борьбы бедных с богатыми, а история человечества –
история борьбы за социальное равенство.
Социологи, многим из которых чувство зависти тоже не было чуждо, не раз давали советы, как построить общество, где все были бы равны. Если искать геометрические аналогии, то
«общество равных» можно было бы представить себе в виде диска очень большого диаметра с высокой башней в центре, из окон которой выглядывают несколько представителей из «рав- ных», ответственных за поддержание равенства.
К сожалению, история показала, что теория построения
«общества равных» не выдерживает испытание практикой хотя бы из-за того, что некоторые люди не хотят быть равными другим и таким своим поведением отвлекают непомерно большие материальные средства общества на поддержание равенства.
Не вдаваясь в дальнейшую полемику о том, каким должно быть современное общество, чтобы каждому в нем жилось хорошо, попытаемся лишь ответить на вопрос, почему торговые отношения между членами общества приводят к тому, что в руках меньшей части общества оказывается бульшая часть его богатств. Но сначала посмотрим, какие существуют оценки социального неравенства.
Парето пересчитывает чужие богатства. Первым, кто опи- сал математической формулой социальное неравенство, был итальянский экономист Вильфредо Парето. В 1896 году он публикует «Курс политической экономии», где собраны статис-

160
тические данные о распределении доходов в различных странах.
Анализируя их, Парето приходит к заключению, что во все времена (с XVI по XIX в.) и во всех странах распределение доходов можно описать следующей формулой, которая с тех пор носит его имя:
log log log
N
a b x

,
где N – число людей, имеющих доход больше x, а а и b –
постоянные, характерные для данной страны и времени, при этом b составляет величину около 1,5.
Однако в 30-е годы прошлого века выяснилось, что Парето изучал статистику доходов только богатых и очень богатых людей того времени, в то время как статистика людей с малыми и средними доходами была просто никому не известна. Когда же стали анализировать распределение доходов «простых» людей,
то оказалось, что эта зависимость очень близка к экспоненциаль- ной, а соответствующая формула Парето принимает вид
1
x
M
N x e
dx
M

,
где
N x – относительная доля людей, обладающих состоянием
(в денежном выражении) больше x, но меньше x + dx, а M –
средний доход «простых» людей.
Только в конце 90-х годов прошлого века физики обратили внимание на то, что формула, описывающая распределение доходов в обществе, очень похожа на распределение Больцмана–
Гиббса – Максвелла, которое позволяет оценить относительную долю f молекул газа, имеющего температуру Т, механическая энергия которых находится в пределах
2
E dE

:
E
kT
e f
dE
kT

,
где k – постоянная Больцмана.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

перейти в каталог файлов
связь с админом