Главная страница
qrcode

ТВИМС. Элементы комбинаторики, правило произведения, определение и вывод формул P


Скачать 343.55 Kb.
НазваниеЭлементы комбинаторики, правило произведения, определение и вывод формул P
Дата11.03.2020
Размер343.55 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаТВИМС.docx
ТипДокументы
#158705
Каталог
Элементы комбинаторики, правило произведения, определение и вывод формул P­n, ,
Число перестановок из n элементов. (P­
  • Число сочетаний из n элементов по k элементам (
  • Число размещений из n элементов по k элементам (
    Строки (1) и (2) назовем одинаковыми, если x­В противном случае строки будем называть различными.




    Конкретная физическая расстановка элементов в ряд.

    N= P­
    N=n(n-1)(n-2)…(n-(k-1))

    С другой, стороны:

    N=k!+k!+k!+…+k!=k!
    k!




    Из определений чисел P­
      Классическое определение вероятности. Примеры.
    1. В результате
        Геометрический подход к подсчету вероятности. Примеры.
      1. В результате
          Условная вероятность. Формулы полной вероятности и Байеса (с выводом).
          Условная вероятность.:


          А,В- события связанные с ε

          точно


          Событие А независимо от события В, если


          Если А не зависит от В, то и В не зависит от А.



          По условию


          Если

          Формулы полной вероятности и Байеса:

          Формула Байеса


          полная группа событий

          Пусть j- любое из чисел 1,2...n
            Схема независимых испытаний Бернулли (с выводом).



            =, Итак
              Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа, формула Пуассона. Примеры.
              Локальная формула Муавра-Лапласа
              Из лекций:

              Если n велико (n≥100), то 

              Pn(k)≈
              x=
              Из учебника:

              Если

              т.е. для любого ε>0 и достаточно больших n


                Интегральная теорема Муавра-Лапласа
                Если , то

                  Теорема Пуассона
                  Если

                  , где
                    Дискретная случайная величина. Основные дискретные распределения.
                    Случайная величина Х называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

                    СВ- дискретные, непрерывные

                    СВ-любая измеримая ф-я элементарного события

                    условие измерс функ X(
                    Дискретные СВ- СВ, принимающие конечные или бесконечные счётный набор возможных значений X
                    ..
                    p
                    ..

                    Основные дискретные распределения:
                    Распределение Бернулли с параметром
                    X
                    1
                    -1
                    p
                    p
                    q
                    q=1-p
                      Биноминальное распределение с параметром n и p, где X
                      0
                      1
                      ..
                      k
                      ...
                      n
                      p
                      ..
                      ...
                      X- число успехов в серии из n независимых испытаний с вероятность. успеха p в одной испытании

                      3)Геометрическое распределение с параметром
                    X
                    1
                    2
                    ..
                    k
                    ...
                    p
                    p
                    ..
                    ...
                    Условие нормировки

                    p+qp+...+
                    x- число испытаний до появления первого успеха в серии независимых испытаний с вероятностью успеха p в каждом испытании

                    4) Распределение Пуассона с параметром
                    X
                    0
                    1
                    ..
                    k
                    p
                    ..
                    Условие нормировки


                    Смысл распределения Пуассона

                    Ф. Пуассона- предельная ассимптотика ф. Бернулли( при
                    Распределение Пуассона можно рассматривать как предельный случай биноминального распределение, когда число испытаний n->0, но при этом np остается постоянным
                      Непрерывные случайные величины. Основные непрерывные распределения.
                      Непрерывной СВ - СВ, возможные значения которой сплошь заполняют какой-либо промежуток вещественной оси.

                      Описывается функцией распределения F(x), можно вести плотность распределения f(x) - плотность распределения непрерывной СВ Х, если ∀X∊(-∞,+∞)

                      F(x)=
                      Свойства f(x):
                      f(x)>0
                    1. α,
                      P{α≤X≤β}=
                      только если F(x), дифференцируема: F’(x)=f(x)

                      P{α≤X≤β}=F(β)-F(α)
                        При Δx очень малом:
                        P{x≤x≤x+Δx}=
                        x≤
                        или

                        f(x)≈
                        т.е f(x) есть вероятность, приходящаяся на единицу длины.

                        Основные непрерывные распределения:

                        1)Равномерное {обозначение - R(a,b)} - СВ Х распределена равномерно на отрезке [a,b] (X), если плотность вероятности имеет вид (рис 7.1), рис 7.2 - функция распределения


                        M(X)=(a+b)/2 ; D(X)=((b-a)^2)/12

                        2)Показательное распределение (экспоненциальное){обозначение- } с параметром >0, f(x) - плотность распределения, F(x) - функция распределения

                        M(X)=1/;D(X)=1/


                        3) Нормальное распределение (гауссовское){обозначение- N} с параметрами m и 0, m - любое. График плотности нормального распределения, называемый кривой Гаусса , имеет единственный максимум в точке
                          Функция распределения случайной величины и ее свойства.
                          Ф.Р.СВ X=X(
                          F(X)=P
                          F(x)=P{X
                          Свойства функции распределения:

                          1)
                          2)F(x) неубывающая функция

                          т.е ∀

                          3) Асимптотика


                          Док-во F(x1)=P{X
                          Ясно, что если произошло {X4)Для любых
                          Док-во

                            Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее свойства.
                            Функция f(x) называется плотностью распределения непрерывной случайной величины X, если ∀x∊(∞;+∞)

                            F(x)=
                            Если F(x) дифференцируема или

                            F’(x)=f(x)

                            Свойства f(x):
                            f(x)≥0
                            1. Пусть Δx мало
                              P{x≤Xx≤
                              P{x≤X
                              или

                              f(x)≈
                                Математическое ожидание случайной величины. Его свойства. Подсчет математического ожидания в дискретных и непрерывных случаях. Примеры.
                                Математическим ожиданием случайной величины Х называется число М{X}=
                                Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x) называется число
                                Свойства математического ожидания:
                                Если α постоянная, то М{αX} = αM{X}
                              1. M{X+Y}=M{X}+M{Y}
                                M{
                                  Если Х и Y независимые случайные величины то
                                1. Если Х дискретная случайная величина, а Y=φ(x), где φ заданная функция, то M{Y}=
                                2. Если X непрерывная случайная величина с плотностями f(x), а случайная величина Y=
                                    Дисперсия случайной величины. Ее свойства. Подсчет дисперсии в дискретном и непрерывном случаях. Примеры.
                                    Дискретный случай


                    ...
                    p
                    ...

                    D{X}≜
                    Смысл: Среднее значение квадрата отклонения случайной величины относительно ее математического ожидания
                      непрерывный случай
                      X- непрер. СВ с плотностью f(x)

                      D{X}≜
                      В общем случае дисперсия равна:

                      D{X}=
                      Свойства дисперсии:
                      Если СВ X=const=α, то D{α}=0
                    1. Если
                    2. Если X и Y -две произвольные независимые случайные величины, то D{X+Y}=DX+DY ; D{X-Y}=DX+DY

                        Система двух случайных величин. Понятие функции совместного распределения и ее свойства. Понятие плотности совместного распределения для системы непрерывных случайных величин, ее свойства.
                        Функция совместного распределения СВ X и Y:

                        F(x,y)≜P(XСвойства F(x,y):

                        1)для любого значения y:


                        для любого значения x:


                        кроме того при x➝
                        2) если

                        3)F(x,y) - неубывающая функция переменных X и Y, т.е. если
                        4)для независимых СВ X и Y

                        F(x,y)=
                        Определение.

                        СВ X и Y называются независимыми, если для любых интервалов (Определение.

                        Если существует функция f(x,y) такая, что функция распределения F(x,y) представлена в виде F(x,y)=
                        Свойства f(x,y):
                        f(x,y)≥0
                      1. {X,Y} -> (x,y)
                        P{(X,Y)∊D}=
                        в частности ,
                          если f(x,y) непрерывна в точке (x,y), то
                          P={
                            Ковариация и коэффициент корреляции двух случайных величин. Их свойства, смысл и подсчет в дискретном и непрерывном случаях.
                            Ковариация СВ X и Y:

                            cov(x,y)≜M{(X-MX)(Y-MY)}

                            M{XY-X*MY-Y*MX+MXMY}=M{XY}-MYMX-MXMY+MXMY=M{XY}-MXMY
                            Подсчёт

                            Дискретный случай

                    ...
                    ...
                    ..
                    ..
                    ..

                    ..
                    ..
                    ..
                    ..
                    ...
                    ..
                    ..
                    ..
                    .
                    .
                    .
                    .
                    ..
                    ..
                    cov(x,y)=
                    непрерывный случай

                    cov(x,y)=
                    Св-ва ковариации:
                    Если СВ X и Y независимы, то cov(x,y)=o
                    cov(x,y)=M{XY}-MXMY=MXMY-MXMY=0

                    Обратное неверно( если cov=0, ещё не значит, что СВ независимы)
                      cov(X,Y+Z)=cov(X,Y)+cov(X,Z)
                    1. Для любых СВ X,Y и Z: cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(y,z)
                      Следствие из 2 и 3 cov (
                      Коэффициент корреляции

                        Закон больших чисел: теорема Чебышева и Бернулли.
                        Пусть Y-СВ такая, что
                        P
                        Док-во привидём для случая когда Y-непрерывная СВ с плотность f(y)


                        т.е M{
                        ч.т.д.

                        Т.Чебышева:

                        Пусть имеется бесконечная последовательность
                        тогда

                        Док-во: восп-нерав Чебышева при k=2


                        Заметим:

                        Значит


                        переходя здесь к пределу при n->
                        Т. Бернулли:

                        Пусть k- число успехов в серии из n независимых испытаний Бернулли, p-вероятность успеха в одном испытании. Тогда для любого

                        Док-во введем посл СВ


                    x
                    1
                    0
                    p
                    p
                    1-p
                    Тогда:


                    Значит, по m 1(по т Чебышева)


                    Осталось заменить
                    Ч.Т.Д
                      Центральная предельная теорема в формуле Ляпунова. Вывод интегральной теоремы Муавра-Лапласа, как частный случай центральной предельной теоремы.
                      T: Пусть последов-ть: X1 X2- независимых СВ удовлетворяет условию ляпунова

                      , где di=D{xi}


                      hi=M{|xi-Mxi|}

                      Частный случай

                      Пусть k=2, Y=X-MX, где X-некоторая СВ

                      MX- мат ожидание для X

                      P{|X-MX


                      или P{MX-

                      Пусть теперь

                      правило 3-х чисел


  • перейти в каталог файлов


    связь с админом