Главная страница
qrcode

Б.С. Грязнов. Логика. Рациональность. Творчество. Монография предназначена специалистам в области гносеологии, методологии, истории науки


НазваниеМонография предназначена специалистам в области гносеологии, методологии, истории науки
АнкорБ.С. Грязнов. Логика. Рациональность. Творчество
Дата19.12.2017
Размер8.96 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаB_S_Gryaznov_Logika_Ratsionalnost_Tvorchestvo.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипМонография
#52261
страница8 из 30
Каталогid195942077

С этим файлом связано 38 файл(ов). Среди них: Zhirar_R_-_Nasilie_i_svyaschennoe_pdf.pdf, Kant_I_-_Nablyudenia_nad_chuvstvom_prekrasnogo_i_vozvyshennogo_p, Kyerkegor_-_Neschastneyshiy_pdf.pdf, A_O_Makovelskiy_Istoria_logiki_2004.pdf, B_S_Gryaznov_Logika_Ratsionalnost_Tvorchestvo.pdf, E_Feynberg_Dve_kultury_Intuitsia_i_logika_v_iskusstve_i_nauke.pd и ещё 28 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   30
72
Математический знак только в том случае выполнит спою познавательную функцию, если он ие просто используется как л ми некоторого объекта, нос ним самим можно оперировать как с объектом. Иначе говоря, построение математического знания не ограничивается лишь символизацией, но требует, кроме того выработки специальных правил, по которым можно было бы оперировать математическими символами. Первоначальные правила счета, сложения, вычитания и т. д. складывались стихийным образом, чисто эмпирическим путем и не требовали своего доказательства или обоснования, ибо операции математики приводили к результатам, хорошо согласующимся с действительностью. Умение оперировать математическими объектами, безусловно, означает познание закономерной связи явлений действие тельности. Образование (абстрактных) понятий (которые не существуют и не могут существовать вне знаковой системы Б. Г и операции сними уже включают в себе представление, убеждение, сознание iзакономерности объективной связи мира Создание специфического математического языка с точно фиксированными правилами оперирования знаками этого языка представляет собой создание исчисления. С возникновением исчисления происходит перенесение деятельности человека с материальными предметами в область знаковой деятельности. Сам механизм такого перенесения в настоящее время достаточно успешно изучается как в нашей, таки в зарубежной психологии. Несомненно, что исследования, проводимые в этом направлении, помогут более глубокому пониманию природы и предмета математического знания. Мы не можем специально исследовать эти вопросы и будем исходить из самого факта существования исчис­
лений и анализа их познавательной ценности.
Исчисление только тогда приобретает познавательную и практическую ценность, если задачи, поставленные относительно знаковой системы и разрешаемые ее средствами, могут быть интерпретированы в области практической деятельности и способствуют решению задач в ней. Необходимость обращения к исчислениям обусловлена тем, что в сфере практической деятельности возникают и такие задачи, решение которых или вовсе неосуществимо в этой сфере, или же настолько трудоемко, что его можно считать неосуществимым, знаковая же система может подсказать способ решенид.
Вот как оценивал математическое исчисление П. JI. Чебышеве Всякое соотношение между математическими символами отоб­
43 Ленин В. И Поли. собр. соч, т. 29, с. 160.
44 См
Гальперин П. ЯК вопросу о внутренней речи Доклады АПН РСФСР, 1957, № 4; Он же Умственное действие как основа формирования мысли и образа Вопр. психологии, 1957, № 6; Он же Развитие исследований по формированию умственных действий В кн Психологическая наука в СССР. М, 1959, т. 1. Из зарубежных авторов см
Пиаже Ж, Избранные психологические труды. М, 1969.
ражает соответствующее соотношение между реальными вещами математическое рассуждение равнозначно эксперименту безукоризненной точности, повторенному неограниченное число рази должно приводить к логически и материально безошибочным выводам. В деятельности человека его действия со знаками и с реальными вещами переплетены. Мы часто начинаем свою деятельность с самими вещами, а затем, где-то входе процесса, переходим к знаковым операциями вновь возвращаемся к процедурам с вещами. Поэтому психологически для нас не всегда легко различать эти роды деятельности. В этом заключаются гносеологические корни фетишизации числа и иных математических объектов. (Для детей это особенно верно. Чуковский в книге От двух до пяти отмечает, что дети часто не различают слова и вещи) Ученик в школе вовремя контрольной работы, решая задачу о бассейнах, пешеходах и т. д, нимало не сомневается, что он, не выходя из класса, действительно может решить эти задачи, однако на самом деле он решает задачу не относительно бассейнов, а другую — относительно нахождения неизвестного в уравнении — и затем интерпретирует ее как задачу о реальной действительности. От ученика, таким образом, требуется умение двоякого рода 1) решать уравнения, 2) переводить задачу о бассейнах на язык задач относительно неизвестного в уравнениях.
По сути дела, тоже самое относится ко всей теоретической физике. Маделунг, излагая систему понятий теоретической физики, пишет Теоретическая физика пользуется математическим аппаратом для описания эмпирических закономерностей, обнаруживаемых в явлениях природы. Для этого необходимо отображение чувственно воспринимаемого материала в некоторую математическую схему. Наглядная схема (трехмерной евклидовой) геометрии, применение которой, вероятно, напрашивается больше всего, во многих отношениях оказывается слишком узкой схема анализа пока представляется достаточной, ив настоящее время е применение преобладает. Так как она в конечном счете состоит из одних лишь чисел, тов теоретической физике, следовательно, речь идет об отображении мира в некоторую систему чисел Возникновение исчислений как средства решения задач относится к очень ранним этапам развития общества. Уже в вавилонской и египетской математике имеются арифметические исчисления. Плодотворность исчислений не раз обращала на себя внимание. В средние века Раймунд Луллий пытался представить рассуждения человека в виде исчисления. Высоко оценивал исчисления Лейбниц. Он не раз предпринимал попытки создать такое универсальное арифметизированное исчисление Цит. по статье
Бернштейн С. Н Чебышев, его влияние на развитие математики Ученые записки МГУ, 1947, вып. 91, с. 37.
46
Маделунг Э Математический аппарат физики. Мс которое могло бы заменить все наши мыслительные операции ипритом обладало бы достоинством точности и убедительности. Как впоследствии выяснилось, осуществить такую программу вообще невозможно) Единственное средство улучшить наши умозаключения писал Лейбниц сделать их, как и у математиков, наглядными, так, чтобы свои ошибки находить глазами, и если среди людей возникнет спор, то нужно только сказать Посчитаем, чтобы без особых формальностей увидеть, кто прав Развитие различных систем исчисления делало их все более точными за счет проведения все более строгой формализации. Под формализацией в узком смысле этого слова понимается создание языка более узкого и специализированного, чем обычный язык. За знаками и совокупностями знаков языка (исчисления) закрепляется вполне определенное значение, что исключает полисемию. (Обыденный язык полисемичен в силу противоречия, которое обусловлено тем, что один и тот же объект реальной действительности вступает в различные отношения) Формулируются правртла оперирования со знаками, правила их преобразования. В результате формализации система (исчисление) приобретает относительную самостоятельность, начинает функционировать по внутренне присущим ей законами как таковая становится самостоятельным предметом исследования.
Относительная самостоятельность математического знания как исчисления была осознана давно. Уже Карно в своих Размышлениях о метафизике исчисления бесконечно малых отмечал, что математические знаки не являются только записью мысли, средством ее изображения и закрепления- нет, они воздействуют на самую мысль, они, до известной степени, направляют ее, и бывает достаточно переместить их на бумаге, согласно известным очень простым правилам, для того, чтобы безошибочно достигнуть новых истин. В настоящее время эта относительная самостоятельность приобретает все большее теоре­
тико-познавательное и просто практическое значение для развития теории, а следовательно, и нашего знания об объективном мире. Так, современная теоретическая физика, сточки зрения ЛИ. Мандельштама, прежде всего старается угадать математический аппарат, оперирующий с величинами, о которых или о части которых заранее вообще неясно, что они означают»49.
Превращение исчислений (формальных систем) в предмет самостоятельного исследования с особой остротой поставило перед математикой (ее обоснованием) проблему существования. Проблема существования в таком случае оказывается тесно связанной с широко обсуждаемой в современной математической логике проблемой значения
Leibniz G. W. Fragmente zur Logik. Berlin, 1960, S. 16.
48 Карно JI.
Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых.
М.; Л, 1936, с. 128.
49
Мандельштам ЛИ Поли. собр. трудов В 5-ти т. М, 1950, т. V, с. 351.
75
Исследование исчислений, как математических, таки логико­
математических, имеет два аспекта — синтаксический и семантический. Остановимся коротко на каждом из них в той мере, в какой это поможет нам понять и подойти к решению проблемы существования.
Под синтаксисом обычно понимают систему правил, относящуюся к оперированию исходными объектами системы. (Относительно исходных объектов предполагается, что мы умеем их различать и отождествлять) Правила синтаксиса формулируются таким образом, что исходные объекты знаковой системы рассматриваются сами по себе, независимо оттого, что они обозначают. Конечно, никакой синтаксис не может быть свободен от закономерностей объективной действительности и сам является лишь отображением в своеобразной форме этих закономерностей. Так, все законы арифметики — отражение определенных количественных закономерностей природы и могут использоваться в йрактической деятельности людей лишь постольку, поскольку они правильно их отражают. Тем не менее в процессе решения какой-либо математической задачи мы отвлекаемся от реального содержания математических знаков и правил оперирования с йими; мы можем рассматривать их чисто формально.
Сам факт такого абстрагирования имеет место в практической деятельности людей. Он-то и используется различными идеалистическими направлениями в философии для утверждения бессодержательности и якобы конвенционалыюсти математического знания. Так, Р. Карнап рассматривает логику и математику как только формальные науки ив связи с этим заявляет Формальная наука вообще не имеет объектов она есть система свободных от объектов, пустых по содержанию вспомогательных предложений На пути абсолютизации синтаксиса языка и превращения науки в бессодержательные формализмы неопозитивизм х годов пытался ликвидировать философскую науку и избавиться от таких проблем, как проблема универсалий, или абстрактных объектов. Позиция неопозитивизма была продолжением и отголоском того кризиса, который переживала наука начиная с конца
X IX столетия и который породил физический, математический и йные виды идеализма. Забвение реальной действительности за реальностью математических схем, которые представлялись результатами свободного творчества субъекта, В. И. Ленин рассматривал как одну из основных причин физического идеализма. Крупный успех естествознания писал Ленин приближение к таким однородными простым элементам материи, Законы движения которых допускают математическую обработку, порождает забвение материи математиками. Материя исчезает, остаются одни уравнения 51.
90 Цит. по кн
Нарский И. С Очерки по истории позитивизма. Мс Ленин В . И Поли. собр. соч, т. 18, с. 326.
76
Абсолютизация синтаксического аспекта математики ярко проявляется у номиналистически настроенных математиком и философов (Гудмен и Куайн). (Впервой главе эта концепция ужо затрагивалась, теперь она будет рассмотрена подробнее) Поскольку номинализм отказывается рассматривать абстрактные объекты (сущности) как предмет математики, но вместе стем построить удовлетворительную теорию, интерпретирующую современную математику в номиналистическом духе, не удалось, то ему остается одно — рассматривать математику просто как систему знаков с определенными правилами оперирования ими. Это не означает, что номинализм вовсе не рассматривает интерпретации математики. Однако интерпретация признается лишь постольку, поскольку она может быть номиналистической. В случаях, когда это не осуществляется, чтобы не отказываться от достижений математики, которые имеют большое практическое значение, номинализм переходит на синтаксическую точку зрения.
Наиболее подробное (из известных нам) изложение номинали­
стического взгляда на математику как на синтаксис дано в статье Гудмена и Куайна Шаги по направлению к конструктивному номинализму ив статье Куайна Об универсалиях. Существо этого взгляда в следующем математика рассматривается как система инскрипций, не имеющих никакого значения вне того, что эти иискрипции суть определенные совокупности физических знаков. Такая позиция очень близка физикализму нейра- товского толка. Задача теории заключается в построении синтаксиса инскрипций.
Однако избавиться от проблемы универсалий (абстрактных объектов) номинализму не удалось. Даже изобразив математику как чисто синтаксическую систему, номинализм встал перед проблемой, как построить теорию синтаксиса, не прибегая каб страктным объектам, как избежать использования абстрактных букв, абстрактных слов (в смысле, придаваемом этим выражениям, например, А. А. Марковым в Теории алгорифмов») 53, допустимы ли в качестве объекта исследования потенциально осуществимые инскрипции и т. д>
Удалось ли все же Куайну построить такой номиналистиче­
ский синтаксис Упразднив понятие не только актуальной бесконечности, но даже и потенциальной осуществимости, он полагает, что его синтаксис вполне номиналистичен. Более же внимательное рассмотрение показывает, что сделать это ему не удалось. Для построения своей теории Куайн использует такие невинные, сего точки зрения, предикаты, как быть длиннее, быть частью, быть пространственно больше 5\ Использование таких невинных предикатов в теории предполагает, что мы
Goodman N., Quine W. V. Steps toward a Constructive Nominalism.— The
Journal of Symbolic Logic, 1947, vol. 12, N 4, p. 105—122;
Quine W. V. On
Universals.— Ibid., p. 74—84.
53 См Марков А. А Указ. соч, с.
7—8, 15.
54 См
Goodman N., Quine W. V. Op. cit.
77
обладаем способностью сравнивать чувственно воспринимаемые вещи в отношении длины, объема, умеем отличать часть отце лого. Если даже для нужд номиналистического построения синтаксиса оказывается достаточно только этих предикатов, то ив таком случае абстрактные объекты неизбежно предполагаются так как допущение, что человек умеет сравнивать и различать вещи по длине, объему и т. д, предполагает довольно значительные сведения из области геометрии, относительно которых опять- таки возникает проблема абстрактных объектов. Таким образом, изгнав универсалии непосредственно из теории, номинализм молчаливо предполагает их существующими вне теории, что по сути не меняет дела.
Преувеличение роли синтаксиса сторонниками позитивистской философии не может служить основанием для отказа от синтаксического рассмотрения математики вообще. В истории ее развития синтаксические закономерности играли громадную роль. Так, число ноль было введено в математику по чисто синтаксическим соображениям, для осуществления позиционного принципа нумерации. Прежде всего отметим, что если бы каждое новое число имело свое имя независимо от имен других чисел, то развитие арифметики стало бы весьма затруднительным, а может быть, и невозможным. Введение порождающих правил, которые позволяют образовывать новые числа (и их имена) из некоторого исходного, сразу делает арифметику вполне обозримой системой, даже если она оперирует весьма большими числами. В нашей десятиричной системе исчисления имеются имена только для девяти первых чисел (1, 2, 3 9). Кроме того, существует знак О, который использовался первоначально не для обозначения числа, а лишь как показатель его отсутствия. Обойтись без такого знака невозможно. Чтобы изобразить, например, число двести пять при помощи позиционного принципа, необходимо каким-то способом показать, что в нем две сотни, нет десятков, и пять единиц — 205. Можно было бы, конечно, ограничиться пропуском, нов таком случае 100 было бы неотличимо от 1000, а число
2005 — от числа 205. Раз возникнув, ноль приобретает вполне определенное синтаксическое значение в системе счисления, но только много спустя (в X V II в) ноль начинают рассматривать как число наравне со всеми другими. Так внутренние потребности синтаксиса вызывают к жизни новые математические объекты, для которых первоначально не существует иного оправдания, кроме потребностей синтаксиса. Почти тоже самое относится не только к нулю, но и к отрицательными комплексным числам. Интересно отметить, что способ нахождения производной также был найден первоначально синтаксическим путем и только потом был вновь открыт исходя из весьма содержательных рассуждений См Курант Р, Роббинс Г Что такое математика Элементарный очерк идей и методов. МЛ, с. 93—94.
78
Развитие синтаксиса системы неизбежно связано с введением новых объектов в теорию и при этом синтаксическими же средствами. Такими средствами могут служить, к примеру, так называемые явные определения (в отличие от неявных, о которых пойдет речь в последнем параграфе. Под явными определениями мы в данном случае будем подразумевать лишь номинальные и рекурсивные определения.
Номинальное определение в известном смысле есть процедура сокращения. Вместо совокупности знаков в систему вводится новый знак как сокращение- данной совокупности. Так, число ноль в системе римских знаков (среди которых, как известно, нет соответствующего знака) мы могли бы определить как сокращение для выражениях х для любых х Хотя синтаксически номинальные определения представляют собой просто сокращения, однако введение таких сокращений обусловлено, как правило, содержательными соображениями и соответствует выработке некоторого нового понятия. Такс точки зрения синтаксической определение отношения подобия, данное Расселом и Уайтхедом, является лишь сокращением достаточно громоздкой формулы формула отношения подобия двух классов — А В — вводится как сокращение для выражения
Я (
R )
Уж [(хеЛ)

у) (xRy
&
у&В)]
& (у [(
угВ)
->
—* (3æ)
(xRy & хгА)]
&
(Vx) (Yy)
( Vz)
[(xRy
&
xRz
—>
{y = z)) &
&
(xRz
&
yRz
(x = Однако такое сокращение есть результат колоссальной познавательной работы, которая в синтаксисе скрыта подвидом простой технической процедуры. В силу того что номинальные определения относятся к вполне конструктивным процедурами сравнительно просты по своим правилам, относительно их никогда не возникало подозрений. Их принимают как неизбежный результат нашей неспособности обозревать длинные цепочки знаков, формул и т. д Всегда предполагается, что раз символ введен по определению, то во всяком контексте его можно всегда элиминировать. Иначе говоря, объект, введенный в теорию таким способом, не считается объектом в полном смысле этого слова, а лишь способом говорить о каких-либо других объектах. Однако это не так. Введение нового объекта в теорию (или введение нового имени с синтаксической точки зрения) обусловлено не только нашим стремлением к сокращению, но является косвенным отображением в теории реальной действительности. Поскольку сам синтаксис и его правила в конечном счете суть отражение объективной действительности, то и порождаемые синтаксическим путем объекты не могут ее не отражать. Тем не менее поскольку синтаксис обладает относительной самостоятельностью и отражает мир не абсолютно адекватно, ас известной степенью См
Чёрч А Введение в математическую логику. М, 1960, т. 1, § И .
79
точности, то и абсолютным критерием существования или несу­
ществования объектов синтаксис явиться не может.
Номинальные определения, которые в общем и целом удовлетворяют построению математической теории, все же иногда приводят к таким ситуациям, когда введенный новый объект нельзя элиминировать даже в пределах синтаксиса. Примером может служить введение по определению комбинатора в комбинаторной логике, порождающего так называемый парадоксальный комбинатор, от которого в пределах этой логики избавиться уже нельзя. Это означает, что им нельзя воспользоваться нив каких ситуациях (тем более его уже нельзя никак использовать в области приложений математической логики, а следовательно, он не имеет оснований в самой действительности.
Другим видом конструктивных (а не дескриптивных) определений являются рекурсивные. Они используются в математике как средство генетического построения теории. Исходя из основных объектов и операций, данных как исходные, при помощи рекурсивных определений строят новые объекты и определяют новые операции. (Рекурсивные определения представляют собой функции, обладающие особыми свойствами, и являются предметом исследования в особом разделе математики — учении о рекурсивных функциях, имеющем большое значение для конструктивного построения математики. Мы в данном случае берем материал из книги Р. Петера Рекурсивные функции) Пусть дано число 0 и порождающая операция следующий за, что эквивалентно операции прибавления единицы. Исходя из этих начальных данных мы можем построить натуральный ряд чисел. Кроме того, при помощи рекурсивных определений, не выходящих за пределы синтаксиса системы, мы можем определить функции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень и т. д. Пусть порождающая операция — функция будет определена как 1. ß(0) = 1; 2. ß (n ) = n + l. Тогда сложение может быть определено так 1. ср (0, п) п 2. cp (m+1, n) =ß (ф (т, п) Идя и дальше таким путем, можно построить всю теорию чисел. Однако и здесь мы сталкиваемся с абстрактными объектами хотя и не выходим за пределы синтаксиса. Так, мы можем при помощи рекурсивной функции дать определение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух и более чисел. Правда, такое определение задает наибольший делитель и наименьшее кратное только в возможности. Тем не менее ста ким объектом в возможности мы оперируем как с актуальнр существующим, темы оперируем с абстрактным объектом, который предъявлен нам в виде конкретного определения — рекурсивной функции.
Непосредственным образом мы сталкиваемся с проблемой абстрактных объектов при семантическом исследовании математики. Под семантикой понимается круг вопросов, связанных с определением значений компонентов какого-либо исчисления, его истолкованием. Именно в области семантики возникает задача выяснения смысла самого термина существовать, в особенности в связи с употреблением кванторов всеобщности и существования в отношении к так называемым теоремам существования.
Семантическое значение компонентов формальной системы исчисления) определяется посредством процедуры интерпретации. Однако интенсивные исследования в области обоснования математики, которые в значительной степени используют аппарат логической семантики, все жене являются исследованиями по интерпретации математических теорий в обычном смысле этого слова (как, например, интерпретируются физические теории).
Дело в том, что логическая семантика в том виде, как она сложилась и развивается, не является теорией, занимающейся естественной интерпретацией научных данных, те. истолкованием научных утверждений по отношению к объективному миру, а представляет собой скорее теорию, изучающую возможности и закономерности перевода с одного языка на другой. (Под языком в данном случае, как и во всей работе, понимается любая знаковая система, выполняющая коммуникативную и познавательную функции) Наше утверждение ие может претендовать на то, чтобы быть определением предмета логической семантики, но оно, как нам кажется, достаточно верно характеризует круг ее проблем.
На первый взгляд может показаться, что семантика в таком случае не может играть какой-либо роли в деле обоснования математики и тем более в решении проблемы существования. Однако это не так. Известно, что импульсом появления новых разделов математики могут быть не только потребности практической производственной деятельности людей, но и сами нужды математической теории. Кроме того, отдельные математические теории возникают благодаря тому, что предметом их исследования становятся ранее созданные разделы математики. Даже если новая математическая теория возникает из соображений, чуждых уже существующим теориям (так было, например, с возникновением теории вероятностей, основанной на исследовании такой модели случайных процессов, как азартные игры, то ив таком случае она использует уже сложившийся понятийный аппарат и методы исследования. Таким образом, как бы ни были различны по своему предмету отдельные разделы математики, все они связаны между собой невидимыми нитями в нечто единое. Единство математических теорий позволяет использовать семантический анализ в целях обоснования математики.
Примером использования интерпретации (в семантическом смысле) для обоснования математики может служить обоснование геометрии Лобачевского, данное Пуанкаре и Клейном. Вопрос ставился следующим образом поскольку геометрия Евклида не вызывала сомнений относительно своей истинности и существование объектов, которые изучаются в ней, доказано многовеко-
57 Взгляд на математику как на единую науку развивается Н. Бурбаки. См.:
Бурбаки Н Архитектура математики Математическое просвещение, № 5.
81
бой практической деятельностью людей, то, естественно, возникло желание осуществить интерпретацию на объектах евклидовой геометрии, в которой выполнялись бы теоремы геометрии Лобачевского при соответствующих условиях перевода ее языка на язык геометрии Евклида. Такая интерпретация (не одна, а несколько разных) была построена. Тем самым геометрия Лобачевского получила свое обоснование, а ее объекты получили права гражданства, как и объекты евклидовой геометрии.
Если синтаксическое обоснование абстрактного объекта заключается в указании метода, конструкции, при помощи которых он может быть получен, то все же такое обоснование в ряде случаев, как мы уже отмечали, оказывается недостаточными необходимо обращаться к обоснованию семантическому.
Однако логико-семантический анализ и процедура перевода теории с одного языка на другой, хотя и являются достаточно сильными, все жене могут быть признаны универсальным средством, полностью разрешающим проблему обоснования математики. В конечном итоге эта процедура лишь переносит трудные вопросы из одной области в другую, зачастую отнюдь не продвигая их решение. Так, путем перевода проблема непротиворечивости геометрии Лобачевского может быть сведена к той же проблеме относительно геометрии Евклида, а эта последняя — к проблеме непротиворечивости арифметики, которая должна быть обоснована уже независимо от них. Логико-семантическое обоснование математики создает впечатление регресса в бесконечность, замкнутого круга, но, как и везде, этот круг разрывается обращением к практике, к сфере производственной, материальной деятельности людей, применением новых критериев обоснования. Именно такого обоснования истинности своей геометрии искал Лобачевский в практике астрономических наблюдений. Однако обоснование не всякого математического объекта возможно в сфере материальной, практической деятельности. Так, если операциям с целыми положительными и отрицательными, а также рациональными числами соответствуют вполне определенные процедуры счета и измерения, то относительно иррациональных чисел этого сказать нельзя. Введение в область математики иррациональных чисел вполне оправдано в силу того, что оно осуществляется с использованием таких логических средств, которые сами по себе н вызывают сомнений, и, кроме Перевод одной теории на язык другой используется не только для обоснования того или иного раздела математики, но часто служит действенным средством для постановки и разрешения новых задач. Так, создание Декартом аналитической геометрии сточки зрения логико-семантической представляло собой лишь перевод языка геометрии на язык алгебры, но сколько нового принесло это открытие в математику Разрешимость задачи о квадратуре круга долгое время не удавалось ни опровергнуть, ни доказать. Лишь после того, как удалось перевести эту задачу с языка геометрии на язык алгебры, она была решена алгебраическим способом Здесь следует отметить, что в конструктивном направлении математики действительные числа вводятся в теорию при помощи принципиально иных логических средств, нежели в классической математике, а потому
того покоится на существовании в математике объектов, обоснованность которых гараитирует многовековая практическая деятельность людей.
Требовать от обоснования математики указания на непосредственные прообразы всех математических объектов в действительности неразумно. Таковых для многих математических объектов просто может не оказаться. Точно также нельзя показать пальцем на какую-либо вещь и сказать это прибавочная стоимость.
Диалектико-материалистическое обоснование математики в томи заключается, что оно учитывает всю сложность закономерностей природы и человеческого познания и тем самым преодолевает узость эмпиризма. Самое решительное возражение против эмпиризма было сделано Марксом и Энгельсом. Грубый эмпиризм писал Маркс превращается в ложную метафизику, в схоластику, которая делает мучительные усилия, чтобы вывести неопровержимые эмпирические явления непосредственно, путем простой формальной абстракции, из общего закона или же чтобы хитроумно подогнать их под этот закон Существует и другая крайность попытка свести все обоснование математики, логики и т. д. к чисто лингвистическим, языковым проблемам. В этом отношении интересна полемика Карнапа и Куайна, на которой мы коротко остановимся. Карнап считает, что принять или не принять абстрактные объекты в качества предметов исследования — это не онтологический вопрос, его решение лежит вне сферы отношения теории к закономерностям объективного мира Сточки зрения Карнапа, это вопрос о принятии или непринятии того или иного языка или языкового каркаса. Таким образом, внешне подобные вопросы решаются у

Карнапа весьма просто если вы избрали язык, в котором имеются лишь индивидные переменные (те. такие переменные, областью значения которых могут быть имена индивидуальных объектов, то ваш язык не может употреблять универсалии если же переменные пробегают не только по области индивидов, но и по области предикатов, то языковый каркас допускает использование абстрактных объектов. Какой принять язык — вопрос не теории, а практики, зависящий от степени его удобства. Однако- остается тайной, каким образом, не обращаясь к самой действительности, Карнапу удается определить, какой объект (или какое языковое выражение) является индивидуальным (конкретным) , а какой — абстрактным. Хотя он с помощью такого подхода к проблеме универсалий и пытается избавиться от философских проблем, тем не менее обойти их все жене может. Куайн,, безусловно, прав, называя его платонистом, реалистом. Карнап^
и получают иное семантическое истолкование. См
Шанин НА Указ. соч Успенский В. М Лекции о вычислимых функциях. М, 1960, § 12;:
Klaua D. Konstructive Analysis. Berlin, 1961, § 6.
60 Маркс K., Энгельс Ф Соч. е изд, т. 26, ч. I, с. 64.
61 См
Карнап Р Значение и необходимость. Мг 1959;. § 10; Quine W. К.
From a Logical Point of View. Cambridge, 1953-.
62 См
Quine W. V. Op. cit., p. 14.
83
критикуя номинализм за превращение математики впустую игру с символами, претендует на то, что в его теории математика имеет смысли значение. Но, лишив понятие числа его объективного значения, обусловленного самой материальной действительностью, и тем не менее рассматривая число как нечто существующее, он тем самым принимает его как универсалию в идеалистическом понимании63.
Обоснование математики, а следовательно, и решение проблемы существования исходя из того анализа, который мы попытались дать, должно идти в различных направлениях, и только их синтез может привести к желаемому результату. Синтаксический анализ с надежными логическими средствами исследования дает нам обоснование объектов внутри математической теории, семантический анализ должен привести новые математические теории в соответствие с теориями, способными играть роль фундамента всей математики. Обычно таким разделом математики считается арифметика натуральных чисел. Кронекер как-то заявил Целое число создал господь бог, все остальное дело трудов человеческих 64. Если отвлечься оттого теологического налета, который имеется в утверждении Кронекера, то он прав в том смысле, что действительно почти вся математика может быть интерпретирована в терминах арифметики натуральных чисел. Для формальных теорий первого порядка это доказано в теореме Лёвенгей- ма—Сколема (доказанной в 1915 г Если предикатная формула
F
выполнима в некоторой (непустой) области, то
F
выполнима в области натуральных чисел. Иначе говоря, Лёвенгейм доказал, что всякая формальная теория первого порядка, допускающая интерпретацию, допускает интерпретацию ив области натуральных чисел.
На принципиальную важность и фундаментальность натурального ряда указывали неоднократно многие математики. Однако обоснование натурального ряда и законов арифметики, также как и обоснование законов логики, нельзя уже осуществить ни семантическим, ни синтаксическим путем, если мы не хотим совершить ошибку порочного круга. ПРАКТИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ЧЕЛОВЕКА МИЛЛИАРДЫ РАЗ ДОЛЖНА БЫЛА ПРИВОДИТЬ СОЗНАНИЕ ЧЕЛОВЕКА К ПОВТОРЕНИЮ РАЗНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ФИГУР, ДАБЫ ЭТИ ФИГУРЫ МОГЛИ ПОЛУЧИТЬ ЗНАЧЕНИЕ АКСИОМ. То, что В. И. ЛеЖин говорило логике, в равной степени относится и к исходным понятиями законам математики, и ее обоснование немыслимо внеисторического анализа становления математического знания См
Карнап Р Указ. соч Цит. по кн
Вейль ГО философии математики. Мс
Клини С Указ. соч, с. 349.
66 См, например Колмогоров АН Современные споры о природе математики Научное слово, 1929, № 6, с. 45—46.
67 Ленин В. И
. Полн. собр. соч, т. 29, с. 172.
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   30

перейти в каталог файлов


связь с админом