Главная страница
qrcode

Стереометрия на ЕГЭ по математике. Многогранник... Стереометрия на егэ по математике Многогранники в задаче С2


НазваниеСтереометрия на егэ по математике Многогранники в задаче С2
АнкорСтереометрия на ЕГЭ по математике. Многогранник.
Дата10.12.2017
Размер0.61 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаStereometria_na_EGE_po_matematike_Mnogogrannik.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#51072
страница3 из 5
Каталогmikhaildemin

С этим файлом связано 29 файл(ов). Среди них: Ugol_mezhdu_ploskostyami_Trenirovovchnye_zadachi.pdf, Планы ответа C8.doc, EGE_2013_Matematika_Zadacha_S3_Sergeev_I_N__P.pdf, Teoria_S3.pdf, Ugol_mezhdu_ploskostyami.pdf, Конспекты в схемах.doc, S6_po_matematike.pdf, Genetika_pola1.pdf, angliyskiy_govorenie_muzlanova_100_tem.pdf и ещё 19 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   2   3   4   5
Почему при решении этой задачи прежними методами мы столкнулись бы с проблемами?
Дело в том, что в пирамиде ABCB
1
отсутствует симметрия — все рёбра пирамиды имеют различную длину. Соответственно, к проекции точки B на плоскость AB
1
C не так-то просто
«подобраться». Но методу объёмов, как видите, данная трудность нипочём — мы нашли иско- мую высоту d, даже не выясняя, куда именно проектируется точка B.
Освоив столь мощный метод нахождения расстояния от точки до плоскости, мы в каче- стве «дополнительной опции» немедленно получаем метод вычисления угла между прямой и плоскостью.
54

13.2
Угол между прямой и плоскостью
Идея вычисления угла между прямой и плоскостью очень проста и основана на предваритель- ном вычислении расстояния от точки до плоскости. Давайте посмотрим на рис.
76
A
B
C
D
N
ϕ
Рис. 76. Угол между прямой и плоскостью
Предположим, нам нужно найти угол ϕ между прямой BC и плоскостью ABD. Вычисляем сначала высоту CN , после чего находим:
sin ϕ =
CN
BC
В качестве иллюстрации рассмотрим задачу с теми же исходными данными, что и преды- дущая.
Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны рёбра: AB = 1,
AD =

3, AA
1
=

6. Найдите угол между прямой BB
1
и плоскостью AB
1
C.
Решение. Ситуация показана на рис.
77
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1 1

3

6
N
ϕ
Рис. 77. К задаче 3
Расстояние от точки B до плоскости AB
1
C мы уже нашли в предыдущей задаче:
BN =

6 3
55

Остаётся найти искомый угол ϕ:
sin ϕ =
BN
BB
1
=

6/3

6
=
1 3
Ответ: arcsin
1 3
13.3
Угол между плоскостями
При вычислении угла между плоскостями может оказаться полезной следующая формула для объёма треугольной пирамиды:
V =
2 3
S
1
S
2
a sin ϕ.
(6)
Здесь S
1
и S
2
площади двух граней пирамиды, a — общее ребро этих граней, ϕ — угол между плоскостями этих граней.
Вывести данную формулу несложно. Давайте посмотрим на рис.
78
S
1
S
2
h
A
B
C
D
ϕ
a h
a
Рис. 78. К выводу формулы V =
2 3
S
1
S
2
a sin ϕ
Пусть S
1
и S
2
— площади треугольников ABC и ABD соответственно; пусть также a = AB
и ϕ — угол между плоскостями ABC и ABD. Из вершины D проведём высоту h пирамиды и высоту h a
грани ABD.
Легко видеть, что h = h a
sin ϕ. Тогда для объёма пирамиды имеем:
V =
1 3
S
1
h =
1 3
S
1
h a
sin ϕ.
(7)
С другой стороны, запишем формулу для площади S
2
:
S
2
=
ah a
2
,
откуда h
a
=
2S
2
a
Это выражение надо подставить в (
7
):
V =
1 3
S
1 2S
2
a sin ϕ =
2 3
S
1
S
2
a sin ϕ,
56
что нам и хотелось получить.
В качестве несложного упражнения возьмите параллелепипед из задачи 2 и с помощью формулы (
6
) найдите угол между плоскостями AB
1
C и ABC (ответ: arcsin
2

2 3
).
А мы рассмотрим более трудную ситуацию в том же параллелепипеде. Похожая задача предлагалась на ЕГЭ в 2010 году.
Задача 4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны рёбра: AB = 1,
AD =

3, AA
1
=

6. Найдите угол между плоскостями AB
1
D
1
и CB
1
D
1
Решение. Делаем чертёж (рис.
79
). Искомый угол ϕ будем вычислять с помощью треугольной пирамиды AB
1
CD
1
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1 1

3

6
Рис. 79. К задаче 4
Согласно формуле (
6
) имеем:
V
AB
1
CD
1
=
2 3
S
AB
1
D
1
S
CB
1
D
1
B
1
D
1
sin ϕ.
(8)
Объём тетраэдра AB
1
CD
1
мы найдём, «отрезая» от исходного параллелепипеда четыре рав- нообъёмных «куска»:
V
AB
1
CD
1
= V
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
− V
AA
1
B
1
D
1
− V
ABCB
1
− V
CB
1
C
1
D
1
− V
ACDD
1
Объём параллелепипеда равен 1 ·

3 ·

6 = 3

2, а объём каждого «куска»:
V
AA
1
B
1
D
1
= V
ABCB
1
= V
CB
1
C
1
D
1
= V
ACDD
1
=
1 3
·
1 2
· 1 ·

3 ·

6 =

2 2
Следовательно,
V
AB
1
CD
1
= 3

2 − 4 ·

2 2
=

2.
Теперь найдём площади граней AB
1
D
1
и CB
1
D
1
. Имеем:
AB
1
= CD
1
=

7,
AD
1
= CB
1
= 3,
B
1
D
1
= 2.
Таким образом, треугольники AB
1
D
1
и CB
1
D
1
имеют стороны 2, 3 и

7. Площадь такого треугольника мы уже посчитали в задаче 2:
S
AB
1
D
1
= S
CB
1
D
1
=
3

3 2
57

Подставляем найденные величины в формулу (
8
):

2 =
2 3
·
3

3 2
·
3

3 2
2
sin ϕ,
откуда sin ϕ =
4

2 9
Ответ: arcsin
4

2 9
Многовато вычислений, не правда ли? Но таков уж метод объёмов. Правда, в данной задаче можно не прибегать к этому мощному методу и обойтись прежними средствами — то есть,
явно построить линейный угол двугранного угла и вычислить его из некоторого треугольника.

Решение получится более коротким и изящным. Сможете ли вы найти его?
13.4
Расстояние между скрещивающимися прямыми
При нахождении расстояния между скрещивающимися прямыми может помочь следующая формула для объёма тетраэдра:
V =
1 6
abd sin ϕ.
(9)
Здесь a и b — скрещивающиеся рёбра тетраэдра, d и ϕ — соответственно расстояние и угол между ними (точнее, между прямыми, содержащими эти рёбра).
Дадим вывод этой формулы.
A
K
B
L
M
C
N
D
ϕ
a b
d
Рис. 80. К выводу формулы V =
1 6
abd sin ϕ
На рис.
80
мы видим тетраэдр ABCD, достроенный до параллелепипеда AKBLM CN D
следующим образом: через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, параллельная ребру,
скрещивающемуся с данным ребром. Покажем, что объём V тетраэдра ABCD равен одной трети объёма V
0
получившегося параллелепипеда.
Как и в задаче 4, отрезаем от параллелепипеда четыре тетраэдра:
V = V
0
− V
AKBC
− V
BCN D
− V
ALBD
− V
ACM D
58

Все эти тетраэдры имеют одинаковый объём. В самом деле, если S и d — соответственно площадь основания и высота параллелепипеда, то
V
AKBC
= V
BCN D
= V
ALBD
= V
ACM D
=
1 3
·
S
2
· d =
1 6
Sd =
V
0 6
Тогда
V = V
0
− 4 ·
V
0 6
=
V
0 3
Пусть a = AB, b = CD. Расстояние между прямыми, проходящими через рёбра a и b,
является расстоянием между параллельными плоскостями AKB и M CN , то есть высотой d нашего параллелепипеда. Угол между рёбрами a и b — это угол ϕ между прямыми AB и KL.
Для площади основания параллелепипеда имеем:
S =
1 2
· AB · KL · sin ϕ =
1 2
ab sin ϕ
(есть такая формула планиметрии: площадь четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними). Объём параллелепипеда, стало быть, равен:
V
0
= S
0
d =
1 2
abd sin ϕ.
Объём тетраэдра ABCD, как было показано выше, меньше в три раза, и тем самым мы приходим к нужной формуле (
9
).
Посмотрим, как работает данная формула в задаче, которую мы уже разбирали в разделе
«Расстояние между скрещивающимися прямыми».
Задача 5. В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние между прямыми A
1
B и B
1
C. Ребро куба равно 3.
Решение. Делаем чертёж (рис.
81
). Искомое расстояние d будем вычислять при помощи тетра- эдра A
1
BCB
1
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1 3
Рис. 81. К задаче 5
Объём V этого тетраэдра легко найти, приняв за основание грань BCB
1
. Тогда:
V =
1 3
·
9 2
· 3 =
9 2
С другой стороны, согласно формуле (
9
) имеем:
V =
1 6
· A
1
B · B
1
C · d · sin ϕ.
59

Здесь A
1
B = B
1
C = 3

2, угол ϕ между прямыми A
1
B и B
1
C равен 60

(почему?), так что
V =
1 6
· 3

2 · 3

2 · d ·

3 2
=
3d

3 2
Остаётся приравнять выражения для объёма:
9 2
=
3d

3 2
,
и найти требуемое расстояние:
d =

3.
Ответ:

3.
60

14
Сто тренировочных задач
Тренировочные задачи варьируются по сложности: от совсем элементарных до уровня С2. Эти за- дачи призваны подготовить школьника к дальнейшей работе с «Задачником С2», расположенном в следующем разделе.
Среди тренировочных задач есть несколько «не похожих» на задачи ЕГЭ. Они включены в задач- ник с целью расширения кругозора школьника.
Почти все тренировочные задачи — авторские.
14.1
Угол между скрещивающимися прямыми
1. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 1, а боковое ребро равно 2. Найдите угол между прямыми AB и SC.
arccos
1 4
2. В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 2, а бо- ковое ребро равно 1. Найдите угол между прямыми AA
1
и BD
1
arccos
1 3
3. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания рав- на

6, а боковое ребро равно 3. Найдите угол между прямыми AC и SD.
45

4. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 3, а боковое ребро равно 4. Найдите угол между прямыми A
1
B и AC.
arccos
3 10 5. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 1,
а боковое ребро равно

2. Найдите угол между прямыми AB
1
и CD
1 60

6. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна

2,
а боковое ребро равно 1. Найдите угол между прямыми AF
1
и B
1
C.
90

7. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB = 4, а углы ASB, BSC
и ASC — прямые. Точка M — середина ребра BS. Найдите угол между прямыми AM и BC.
arccos
1

10 8. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на

6, а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра SC. Найдите угол между прямыми
BM и AS.
60

61

9. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 1,
а боковое ребро равно

6. Найдите угол между прямыми AB и F D
1 60

10. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания рав- на 1, а боковое ребро равно

3. Точка M — середина ребра SC. Найдите угол между прямыми
AM и BF .
arccos

3 6
11. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
все рёбра равны. Найдите угол между прямыми AF
1
и BD
1
arccos
5

2 8
12. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
даны длины рёбер: AB = 6, BC = 4,
AA
1
= 3. Найдите угол между прямыми AC
1
и B
1
C.
arccos
7 5

61 13. Основанием прямой призмы ABCA
1
B
1
C
1
служит треугольник ABC, в котором AB = BC =
= 5, AC = 8. Боковое ребро призмы равно

11. Найдите угол между прямыми A
1
B и B
1
C.
60

14. На ребре BB
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
взята точка K так, что BK : KB
1
= 3 : 1. Найдите угол между прямыми AK и BD
1
arccos

3 15 14.2
Угол между прямой и плоскостью
15. В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 3, а боковое ребро равно

6. Найдите угол между прямой AC
1
и плоскостью ABC.
30

16. На ребре B
1
C
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
взята точка K так, что B
1
K : KC
1
= 5 : 7. Найдите угол между прямой AK и плоскостью ABC.
arctg
12 13 17. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 2, а боковое ребро равно

2. Найдите угол между прямой BA
1
и плоскостью BCC
1 45

18. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 3,
а боковое ребро равно 4. Найдите угол между прямой AD
1
и плоскостью ABB
1
arctg
3

3 5
62

19. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 6,
а боковое ребро равно 8. Найдите угол между прямой CD
1
и плоскостью ABB
1
arcsin
3

3 10 20. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 2, а боковое ребро равно

3. Найдите угол между прямой AC и плоскостью ABS.
30

21. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно

10. Найдите угол между прямой CD и плоскостью ABS.
45

22. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBE.
arcsin
1

3 23. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 4, а боковое ребро равно 3. Точка M — середина ребра SB. Найдите угол между прямой
AM и плоскостью ASC.
arctg
2

66 33 24. Точка M — середина ребра BB
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Найдите угол между прямой AM
и плоскостью ABC
1
arcsin
1

10 25. В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна 3, а боковое ребро равно

10. Точка M — середина ребра SB. Найдите угол между прямой AM и плоскостью ABC.
30

26. Основанием прямой призмы ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
служит ромб ABCD со стороной 12 и уг- лом BAD, равным 60

. Боковое ребро призмы равно 5. Найдите угол между прямой AB
1
и плоскостью BDD
1
arcsin
6

3 13 27. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 2, а боковое ребро равно

3. Точка M — середина ребра A
1
B
1
. Найдите угол между прямой AM и плоскостью
ABC
1
arcsin

6 4
28. В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите угол между прямой BD
1
и плоскостью BC
1
D.
arcsin
1 3
63

29. В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB и BC равны соответственно 3 и 4, остальные рёбра равны 5. Найдите угол между прямой BD и плоскостью ABC.
60

30. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами. Дока- жите, что основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной вокруг основания пирамиды.
31. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 5 и 6. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60

. Найдите объём пирамиды.
25

3 2
14.3
Угол между плоскостями
32. В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 2, а высота равна

2. Найдите угол между плоскостями ABC и AB
1
C.
45

33. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 2, а высота рав- на 3. Найдите угол между плоскостями ABC и A
1
BC.
60

34. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 6, а боковое ребро равно

21. Найдите угол между плоскостями SAB и ABC.
30

35. В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна 6, а боковое ребро равно

21. Найдите угол между плоскостями SAB и ABC.
60

36. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 2, а боковое ребро равно

3. Найдите угол между плоскостями SAD и SBC.
90

37. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 1,
а высота равна 3. Найдите угол между плоскостями ABC и AC
1
E
1
arctg2 38. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 2,
а высота равна 3. Найдите угол между плоскостями ABC и AE
1
F
1 60

39. В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна

10,
а боковое ребро равно 5. Найдите угол между плоскостями SAB и SBC.
arccos
4 9
=2
arcsin

10 6
64

40. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на

26, а боковое ребро равно 13. Найдите угол между плоскостями SAB и SBC.
arccos
1 25 41. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 2, а боковое ребро равно

5. Найдите угол между плоскостями SAB и SCD.
arccos
5 8
42. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 4. Точка M — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостью ABM и плоскостью основания ABC.
arctg

3 6
43. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 2, а высота рав- на 1. Найдите угол между плоскостями A
1
BC и AB
1
C
1 60

44. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны рёбра: AB = 3, BC = 4,
AA
1
= 12. Найдите угол между плоскостями BC
1
D и ABC.
arctg5 45. На ребре AA
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
взята точка K так, что AK : KA
1
= 1 : 3. Найдите угол между плоскостями ABC и KD
1
C.
arctg
1   2   3   4   5

перейти в каталог файлов


связь с админом