Главная страница
qrcode

Стереометрия на ЕГЭ по математике. Многогранник... Стереометрия на егэ по математике Многогранники в задаче С2


НазваниеСтереометрия на егэ по математике Многогранники в задаче С2
АнкорСтереометрия на ЕГЭ по математике. Многогранник.
Дата10.12.2017
Размер0.61 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаStereometria_na_EGE_po_matematike_Mnogogrannik.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#51072
страница4 из 5
Каталогmikhaildemin

С этим файлом связано 29 файл(ов). Среди них: Ugol_mezhdu_ploskostyami_Trenirovovchnye_zadachi.pdf, Планы ответа C8.doc, EGE_2013_Matematika_Zadacha_S3_Sergeev_I_N__P.pdf, Teoria_S3.pdf, Ugol_mezhdu_ploskostyami.pdf, Конспекты в схемах.doc, S6_po_matematike.pdf, Genetika_pola1.pdf, angliyskiy_govorenie_muzlanova_100_tem.pdf и ещё 19 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   2   3   4   5
5 4
46. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами. Докажи- те, что основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.
47. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 5 и 6. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60

. Найдите объём пирамиды.
6

3 48. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника.
а) Сторона AB треугольника ABC лежит в плоскости π. Угол между плоскостью ABC
и плоскостью π равен α. Точка H — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на плоскость π. Докажите, что S
ABH
= S
ABC
cos α.
б) Точки K, L, M — ортогональные проекции точек A, B, C на плоскость π. Угол между плоскостью ABC и плоскостью π равен α. Докажите, что S
KLM
= S
ABC
cos α.
в) Докажите, что площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость π равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью π. (Указание: разбейте многоугольник на треугольники.)
65

14.4
Расстояние от точки до прямой
49. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на

2, а боковое ребро равно 2. Найдите расстояние от точки A до прямой SC.

3 50. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 1, а боковое ребро равно

3. Найдите расстояние от точки A до прямой SC.
3 2
51. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 6, а высота рав- на 8. Найдите расстояние от точки A до прямой BC
1 3

91 5
52. В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно

2. Найдите расстояние от точки A до прямой SM , где M — середина ребра BC.

2 53. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 1,
а высота равна 2. Найдите расстояние от точки A до прямой CD
1

3 54. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 2,
а высота равна

13. Найдите расстояние от точки A до прямой CE
1 2

66 5
55. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2

3, а боковое ребро равно 5. Найдите расстояние от точки A до прямой SC.
24 5
56. В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 2, а высота равна 1. Найдите расстояние от центра грани ABCD до прямой BD
1

2 3
57. В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние от центра грани ABCD до прямой AD
1
. Ребро куба равно 4.

6 58. Ребро куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равно 2. Точки M и N — середины рёбер AB и CC
1
соответ- ственно. Найдите расстояние от точки A до прямой M N .
q
5 6
66

59. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. На ребре CC
1
взята точка K так, что CK = 1. Найдите расстояние от точки A
1
до прямой BK.
2

2 60. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) все рёбра равны 6.
Найдите расстояние от точки A до прямой BM , где M — середина ребра SC.

33 61. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны рёбра: AB = 8, AD = 6,
AA
1
= 2

3. Точки E и F служат серединами рёбер AB и BC соответственно. Найдите рассто- яние от точки D
1
до прямой EF .
2

399 5
62. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно 6. Точки M и N — центры граней ABD и ACD
соответственно. Найдите расстояние от точки A до прямой M N .

11 14.5
Расстояние от точки до плоскости
63. В прямой треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
известны рёбра: AB = BC = 1, AC =

2,
AA
1
= 1. Найдите расстояние от точки B
1
до плоскости A
1
BC
1 1

3 64. В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна 2

3,
а боковое ребро равно 3. Найдите расстояние от точки C до плоскости ABS.
q
15 2
65. В прямой треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
известны рёбра: AB = AC = 5, BC = 6,
AA
1
= 3. Найдите расстояние от точки C
1
до плоскости A
1
BC.
12 5
66. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 6, а боковое ребро равно 5. Найдите расстояние от точки A до плоскости BCS.
3

7 2
67. В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 5, а высота равна 12. Найдите расстояние от середины ребра AA
1
до плоскости BC
1
D
1 30 13 68. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно

10. Найдите расстояние от точки A до плоскости BCS.

2 67

69. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна

3, а боковое ребро равно

7. Найдите расстояние от точки A до плоскости CDS.
12 5
70. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна
5

3, а высота равна 8. Найдите расстояние от точки A до плоскости BCE
1 60 17 71. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 2,
а высота равна 1. Найдите расстояние от точки C до плоскости BEF
1

3 2
72. В единичном кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние от точки A до плоскости BDM ,
где M — середина ребра CC
1 1

6 73. В единичном кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
найдите расстояние от середины ребра CC
1
до плоско- сти AB
1
C.

3 6
74. В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 4, а высота равна 3. Найдите расстояние от середины ребра AA
1
до плоскости ACD
1 6

34 75. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 1, а высота рав- на 2. Найдите расстояние от точки A до плоскости A
1
M C, где M — середина ребра BB
1 2

5 76. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на 4, а боковое ребро равно 2

3. Найдите расстояние от точки C до плоскости ABM , где M —
середина ребра SC.
4

10 14.6
Расстояние между скрещивающимися прямыми
77. В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна

10,
а боковое ребро равно 5. Найдите расстояние между прямыми AS и BC.
q
13 2
78. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) сторона основания рав- на

26, а боковое ребро равно 13. Найдите расстояние между прямыми AC и BS.
2

3 68

79. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, все рёбра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми AB
1
и DE
1

3 80. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
, все рёбра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми AD
1
и B
1
C.

3 2
81. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 3. Найдите расстояние между прямыми AS и BC.

3 82. В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 2, а высота равна 1. Найдите расстояние между прямыми AC и BD
1

2 3
83. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 10

3, а высота равна 8. Найдите расстояние между прямыми AB
1
и BC.
120 17 84. В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 2, а высота равна

2. Найдите расстояние между прямыми AC и BC
1 1
85. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно

10. Найдите расстояние между прямыми AS и CD.
2

2 86. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 2,
а высота равна 3. Найдите расстояние между прямыми AB
1
и BC
1 3
2 87. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
сторона основания равна 10,
а высота равна 12. Найдите расстояние между прямыми AB
1
и CD
1 180 13 88. В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 2, а высота равна 3. Найдите расстояние между прямыми AB
1
и BC
1 3
q
2 11 89. Основанием прямой призмы ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
служит ромб ABCD c углом при вершине A,
равным 30

. Все рёбра призмы равны 2. Найдите расстояние между прямыми AA
1
и BC
1 1
69

90. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
сторона основания равна 2, а высота рав- на 3. Найдите расстояние между прямыми AB
1
и BC
1 3

10 14.7
Сечения
91. Ребро куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равно 2. Точка E — середина ребра B
1
C
1
. Найдите площадь сечения куба плоскостью ABE.
2

5 92. В правильной треугольной пирамиде ABCD (с вершиной D) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 4. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KLM , где K, L, M —
середины рёбер AB, BC и CD соответственно.
2 93. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
боковое ребро равно 4, а сторона основа- ния равна 6. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, B и середину ребра B
1
C
1 9

91 4
94. В правильной четырёхугольной пирамиде ABCDE (с вершиной E) все рёбра равны 4.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ABK, где K — середина ребра CE.
3

11 95. Ребро куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равно 4. Найдите площадь сечения куба плоскостью, прохо- дящей через вершину D
1
и середины рёбер AD и CD.
6 96. Ребро куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равно 4. Точка E — середина ребра A
1
D
1
. Найдите площадь сечения куба плоскостью ACE.
18 97. В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 1, а высота равна 2. Точка M — середина ребра AA
1
. Найдите площадь сечения призмы плоскостью
BM D
1

3 98. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны рёбра: AB = 3, AD =

3,
AA
1
= 5. Точка M расположена на ребре AA
1
так, что AM = 4. а) Найдите площадь сече- ния параллелепипеда плоскостью BM D
1
. б) Найдите угол между плоскостями BM D
1
и ABC
(указание: используйте теорему о площади ортогональной проекции многоугольника
).
а)2

21;
б)arccos
3

7 14 70

99. В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 4, а вы- сота равна 3

6. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершину D
1
и середины рёбер AB и BC.
28 100. В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна

2, а высота равна

15. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, BC и CC
1 6
71

15
Задачник С2
Здесь приведены задачи С2, которые предлагались на ЕГЭ по математике, а также на диагности- ческих, контрольных и тренировочных работах МИОО начиная с сентября 2009 года.
1. (МИОО, 2014 ) Высота SO правильной треугольной пирамиды SABC составляет 5/7 от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её
боковым ребром.
arctg
5 4

6 2. (МИОО, 2014 ) Дана правильная четырёхугольная пирамида M ABCD, рёбра основания которой равны 5

2. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен

2, L — середина ребра
M B. Найдите высоту данной пирамиды.
5 3. (МИОО, 2013 ) Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды
SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144. Найдите пло- щадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания.
36 4. (МИОО, 2013 ) Дана правильная треугольная призма ABCA
1
B
1
C
1
, все рёбра основания ко- торой равны 2

7. Сечение, проходящее через боковое ребро AA
1
и середину M ребра B
1
C
1
,
является квадратом. Найдите расстояние между прямыми A
1
B и AM .

6 2
5. (МИОО, 2013 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
известны рёбра AB = 5,
AD = 4, AA
1
= 9. Точка O принадлежит ребру BB
1
и делит его в отношении 4 : 5, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C
1

1281 6. (ЕГЭ, 2013 ) В правильной треугольной пирамиде M ABC с вершиной M высота равна 3,
а боковые рёбра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и AC параллельно прямой M A.
27 2
7. (ЕГЭ, 2013 ) В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно

5, а высота равна 1, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
12

7−
4

3

π
72

8. (ЕГЭ, 2013 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
сторона основания равна 6, а боковое ребро AA
1
= 1. Точка F принадлежит ребру C
1
D
1
и делит его в отношении
2 : 1, считая от вершины C
1
. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и F .
12

2 9. (ЕГЭ, 2013 ) В правильной четырёхугольной пирамиде M ABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью,
проходящей через точку B и середину ребра M D параллельно прямой AC.
5

2 10. (МИОО, 2013 ) Правильные треугольники ABC и BCM лежат в перпендикулярных плоско- стях, BC = 8. Точка P — середина CM , а точка T делит отрезок BM так, что BT : T M = 1 : 3.
Вычислите объём пирамиды M P T A.
24 11. (МИОО, 2013 ) В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
боковое ребро равно 8

3,
а ребро основания равно 1. Точка D — середина ребра BB
1
. Найдите объём пятигранника
ABCA
1
D.
3 12. (ФЦТ, 2013 ) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 7, а сторона основания равна 8.
2

29 13. (МИОО, 2013 ) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точ- ка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC. Найдите угол между плоскостями
BM K и ABC, если AB = 10, SC = 8.
arctg

7 10 14. (МИОО, 2013 ) В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC сторона ос- нования равна 8, а угол ASB равен 36

. На ребре SC взята точка M так, что AM — биссектриса угла SAC. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A, M и B.
16

3 15. (МИОО, 2012 ) В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
стороны основания равны 8,
а боковые рёбра равны

13. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, C и середину ребра A
1
B
1
. Найдите его площадь.
30 16. (МИОО, 2012 ) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD про- ведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S. Найдите площадь этого сечения,
если все рёбра пирамиды равны 8.
8

5 73

17. (ЕГЭ, 2012 ) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
AB = 2, AD = AA
1
= 1.
Найдите угол между прямой AB
1
и плоскостью ABC
1
arcsin
1

10 18. (ЕГЭ, 2012 ) В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
стороны основания равны 2,
боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC
1
. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB
1 3

13 19. (ЕГЭ, 2012 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 5. На ребре AA
1
отмечена точка E так, что AE : EA
1
= 3 : 2.
Найдите угол между плоскостями ABC и BED
1
arctg

13 2
20. (ЕГЭ, 2012 ) Точка E — середина ребра AA
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Найдите площадь сечения куба плоскостью C
1
DE, если рёбра куба равны 2.
9/2 21. (ЕГЭ, 2012 ) На ребре CC
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
отмечена точка E так, что CE : EC
1
=
= 1 : 2. Найдите угол между прямыми BE и AC
1
arccos
2

30 15 22. (ЕГЭ, 2012 ) Точка E — середина ребра DD
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Найдите угол между прямыми CE и AC
1
arccos
1

15 23. (Репетиционный ЕГЭ, 2012 ) В правильной четырёхугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
со стороной основания 4 и высотой 7 на ребре AA
1
взята точка M так, что AM = 2. На ребре
BB
1
взята точка K так, что B
1
K = 2. Найдите угол между плоскостью D
1
M K и плоскостью
CC
1
D
1 45

24. (Репетиционный ЕГЭ, 2012 ) Основанием прямого параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
яв- ляется ромб ABCD, сторона которого равна 4

3, а угол BAD равен 60

. Найдите расстояние от точки A до прямой C
1
D
1
, если известно, что боковое ребро данного параллелепипеда равно 8.
10 25. (МИОО, 2012 ) В правильной треугольной пирамиде SABC точка S — вершина. Точка M —
1   2   3   4   5

перейти в каталог файлов


связь с админом