Главная страница
qrcode

Угол между плоскостями. Величину угла между двумя различными плоскостями можно определить для любого взаим- ного расположения плоскостей


Скачать 166.4 Kb.
НазваниеВеличину угла между двумя различными плоскостями можно определить для любого взаим- ного расположения плоскостей
АнкорУгол между плоскостями.pdf
Дата10.12.2017
Размер166.4 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаUgol_mezhdu_ploskostyami.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#51078
Каталогmikhaildemin

С этим файлом связано 29 файл(ов). Среди них: Ugol_mezhdu_ploskostyami_Trenirovovchnye_zadachi.pdf, Планы ответа C8.doc, EGE_2013_Matematika_Zadacha_S3_Sergeev_I_N__P.pdf, Teoria_S3.pdf, Ugol_mezhdu_ploskostyami.pdf, Конспекты в схемах.doc, S6_po_matematike.pdf, Genetika_pola1.pdf, angliyskiy_govorenie_muzlanova_100_tem.pdf и ещё 19 файл(а).
Показать все связанные файлы

И. В. Яковлев
|
Материалы по математике
|
MathUs.ru
Угол между плоскостями
Величину угла между двумя различными плоскостями можно определить для любого взаим- ного расположения плоскостей.
Тривиальный случай — если плоскости параллельны. Тогда угол между ними считается равным нулю.
Нетривиальный случай — если плоскости пересекаются. Этому случаю и посвящено даль- нейшее обсуждение. Сначала нам понадобится понятие двугранного угла.
Двугранный угол
Двугранный угол — это две полуплоскости с общей прямой (которая называется ребром дву- гранного угла). На рис.
1
изображён двугранный угол, образованный полуплоскостями π и σ;
ребром этого двугранного угла служит прямая a, общая для данных полуплоскостей.
π
σ
a
Рис. 1. Двугранный угол
Двугранный угол можно измерять в градусах или радианах — словом, ввести угловую ве- личину двугранного угла. Делается это следующим образом.
На ребре двугранного угла, образованного полуплоскостями π и σ, возьмём произвольную точку M . Проведём лучи M A и M B, лежащие соответственно в данных полуплоскостях и перпендикулярные ребру (рис.
2
).
M
A
B
π
σ
ϕ
Рис. 2. Линейный угол двугранного угла
Полученный угол AM B — это линейный угол двугранного угла. Угол ϕ =
∠AMB как раз и является угловой величиной нашего двугранного угла.
Определение. Угловая величина двугранного угла — это величина линейного угла данного двугранного угла.
Все линейные углы двугранного угла равны друг другу (ведь они получаются друг из друга параллельным сдвигом). Поэтому данное определение корректно: величина ϕ не зависит от конкретного выбора точки M на ребре двугранного угла.
1

Определение угла между плоскостями
При пересечении двух плоскостей получаются четыре двугранных угла. Если все они име- ют одинаковую величину (по 90

), то плоскости называются перпендикулярными; угол между плоскостями тогда равен 90

Если не все двугранные углы одинаковы (то есть имеются два острых и два тупых), то углом между плоскостями называется величина острого двугранного угла (рис.
3
).
Рис. 3. Угол между плоскостями
Примеры решения задач
Разберём три задачи. Первая — простая, вторая и третья — примерно на уровне C2 на ЕГЭ по математике.
Задача 1. Найдите угол между двумя гранями правильного тетраэдра.
Решение. Пусть ABCD — правильный тетраэдр. Проведём медианы AM и DM соответствую- щих граней, а также высоту тетраэдра DH (рис.
4
).
A
B
C
D
H
M
ϕ
Рис. 4. К задаче 1
Будучи медианами, AM и DM являются также высотами равносторонних треугольников
ABC и DBC. Поэтому угол ϕ = ∠AMD есть линейный угол двугранного угла, образованного гранями ABC и DBC. Находим его из треугольника DHM :
cos ϕ =
HM
DM
=
1 3
AM
DM
=
1 3
Ответ: arccos
1 3
2

Задача 2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (с вершиной S) боковое ребро равно стороне основания. Точка K — середина ребра SA. Найдите угол между плоскостями
KBC и ABC.
Решение. Прямая BC параллельна AD и тем самым параллельна плоскости ADS. Поэтому плоскость KBC пересекает плоскость ADS по прямой KL, параллельной BC (рис.
5
).
A
B
C
D
S
O
K
L
N
M
a a
ϕ
Рис. 5. К задаче 2
При этом KL будет также параллельна прямой AD; следовательно, KL — средняя линия треугольника ADS, и точка L — середина DS.
Проведём высоту пирамиды SO. Пусть N — середина DO. Тогда LN — средняя линия треугольника DOS, и потому LN k SO. Значит, LN — перпендикуляр к плоскости ABC.
Из точки N опустим перпендикуляр N M на прямую BC. Прямая N M будет проекцией наклонной LM на плоскость ABC. Из теоремы о трёх перпендикулярах следует тогда, что LM
также перпендикулярна BC.
Таким образом, угол ϕ =
∠LMN является линейным углом двугранного угла, образованного полуплоскостями KBC и ABC. Будем искать этот угол из прямоугольного треугольника LM N .
Пусть ребро пирамиды равно a. Сначала находим высоту пирамиды:
SO =

DS
2
− DO
2
=
v u
u t
a
2

a

2 2
!
2
=
a

2 2
Тогда
LN =
1 2
SO =
a

2 4
Далее, треугольник BM N подобен треугольнику BCD и BN : BD = 3 : 4. Стало быть,
M N =
3 4
CD =
3a
4
Теперь находим:
tg ϕ =
LN
M N
=

2 3
Ответ: arctg

2 3
3

Задача 3. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
боковое ребро равно стороне осно- вания. Точка K — середина ребра BB
1
. Найдите угол между плоскостями A
1
KC и ABC.
Решение. Пусть L — точка пересечения прямых A
1
K и AB. Тогда плоскость A
1
KC пересекает плоскость ABC по прямой CL (рис.
6
).
A
B
C
A
1
B
1
C
1
K
L
Рис. 6. К задаче 3
Треугольники A
1
B
1
K и KBL равны по катету и острому углу. Следовательно, равны и другие катеты: A
1
B
1
= BL.
Рассмотрим треугольник ACL. В нём BA = BC = BL. Угол CBL равен 120

; стало быть,
∠BCL = 30

. Кроме того,
∠BCA = 60

. Поэтому
∠ACL = ∠BCA + ∠BCL = 90

Итак, LC ⊥ AC. Но прямая AC служит проекцией прямой A
1
C на плоскость ABC. По теореме о трёх перпендикулярах заключаем тогда, что LC ⊥ A
1
C.
Таким образом, угол A
1
CA — линейный угол двугранного угла, образованного полуплоско- стями A
1
KC и ABC. Это и есть искомый угол. Из равнобедренного прямоугольного треуголь- ника A
1
AC мы видим, что он равен 45

Ответ: 45

4

перейти в каталог файлов


связь с админом