Главная страница
qrcode

Законы и формулы по математике и физике школьная математика высшая математика физика издательство тгту


НазваниеЗаконы и формулы по математике и физике школьная математика высшая математика физика издательство тгту
Анкорformuly po fizike i matematike.pdf
Дата26.10.2017
Размер0.74 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаformuly_po_fizike_i_matematike.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипЗакон
#44521
страница2 из 9
Каталогid64647277

С этим файлом связано 36 файл(ов). Среди них: Matematika_formuly.pdf, Тема 2.doc, Тема 6.docx, Podgotovka_k_EGE_Istoria_Rossii_I_Bablenkova.pdf, geometry.pdf, Основные события ВОВ.doc, Тема 5.docx, Istoria_Rossii_s_drevneyshikh_vremen_do_kontsa.pdf, Formuly_po_matematike_1.doc, внут и внеш пол прав.docx и ещё 26 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   2   3   4   5   6   7   8   9
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ

1 2
1 2
1 2
,
,
z
z
Z
y
y
Y
x
x
X

=

=

=
– выражение координат вектора
AB
через координаты точек
(
)
1 1
1
;
;
z
y
x
A
и
(
)
2 2
2
;
;
z
y
x
B

2 2
2
Z
Y
X
a
+
+
=
– выражение длины вектора
{
}
Z
Y
X
a
;
;
=
через его координаты.

(
) (
) (
)
2 1
2 2
1 2
2 1
2
z
z
y
y
x
x
d

+

+

=
– расстояние между точками
(
)
1 1
1 1
;
;
z
y
x
M
и
(
)
2 2
2 2
;
;
z
y
x
M

ϕ

=

cos
b
a
b
a
– определение скалярного произведения векторов
a
и
b
(
ϕ – угол между векторами).

2 1
2 1
2 1
Z
Z
Y
Y
X
X
b
a
+
+
=

– выражение скалярного произведения векторов
{
}
1 1
1
;
;
Z
Y
X
a
=
и
{
}
2 2
2
;
;
Z
Y
X
b
=
через их координаты.

2 2
2 2
2 2
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
cos
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Z
Y
Y
X
X
+
+

+
+
+
+
=
ϕ
– выражение угла между векторами.

0
=
+
+
+
D
Cz
By
Ax
– общее уравнение плоскости (
C
B
A
,
,
– любые вещественные числа,
0 2
2 2

+
+
C
B
A
).

2 2
2 0
0 0
C
B
A
D
Cz
By
Ax
d
+
+
+
+
+
=
– расстояние от точки
(
)
0 0
0 0
;
;
z
y
x
M
до плоскости
0
=
+
+
+
D
Cz
By
Ax

n
z
z
m
y
y
l
x
x
0 0
0

=

=

– каноническое уравнение прямой с направляющим вектором
{
}
n
m
l
a
;
;
=
, проходящей через точку
(
)
0 0
0 0
;
;
z
y
x
M

nt
z
z
mt
y
y
lt
x
x
+
=
+
=
+
=
0 0
0
,
,
– параметрические уравнения прямой.

1 2
2 2
2 2
2
=
+
+
c
z
b
y
a
x
– каноническое уравнение эллипсоида (
c
b
a
,
,
– полуоси).

1 2
2 2
2 2
2
=

+
c
z
b
y
a
x
– каноническое уравнение однополосного гиперболоида.

1 2
2 2
2 2
2

=

+
c
z
b
y
a
x
– каноническое уравнение двуполосного гиперболоида.

z
q
y
p
x
=
+
2 2
2 2
– каноническое уравнение эллиптического параболоида (p > 0, q > 0 – параметры).

z
q
y
p
x
=

2 2
2 2
– каноническое уравнение гиперболического параболоида.


0 2
2 2
2 2
2
=

+
c
z
b
y
a
x
– каноническое уравнение конуса второго порядка.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1
sin lim
0
=

x
x
x
– первый замечательный предел.
● e
1 1
lim
=





 +


x
x
x
– второй замечательный предел.

( )
(
)
( )
x
x
f
x
x
f
x
f
x



+
=



0 0
0 0
lim
– определение производной функции
( )
x
f
y
=
в точке
0
x

( )
x
x
f
y
d d
0

=
– дифференциал функции
( )
x
f
в точке
0
x
● Производные простейших элементарных функций:
– Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного
1)
(
)
v
u
v
u

±

=

±
;
2)
( )
v
u
v
u
uv

+

=

;
3)
0
,
2




=







v
v
v
u
v
u
v
u
– Производная постоянной функции
( )
0
=


=
=
y
C
x
f
y
,
( )
u
C
Cu

=

– Производная степенной функции
( )
1

=

n
n
nx
x
;
( )
x
x
x
2 1
2 1
=







=

;
( )
1 1
2 1
x
x
x

=

=








– Производная показательной функции
( )
a
a
a
x
x
ln
=

;
( )
x
x
e
e
=

– Производная логарифмической функции
(
)
a
x
x
a
ln
1
log
=

;
(
)
x
x
1
ln
=

● Производные тригонометрических функций:
(
)
x
x
cos sin
=

;
(
)
2 1
1
arcsin
x
x

=

;
(
)
x
x
sin cos

=

;
(
)
2 1
1
arccos
x
x


=

;
(
)
x
x
x
2 2
sec cos
1
tg
=
=

;
(
)
2 1
1
arctg
x
x
+
=

;
(
)
x
x
x
2 2
cosec sin
1
ctg

=

=

;
(
)
2 1
1
arcctg
x
x
+

=


( )
( ) ( )
0 0
0
t
x
f
t
y
ϕ′

=

– правило дифференцирования сложной функции
( )
[
]
t
f
y
ϕ
=
в точке
0
t
; здесь
( )
0 0
t
x
ϕ
=

( )
( )
0 0
1
x
f
y

=
ϕ′
– правило дифференцирования обратной функции
( )
y
x
ϕ
=
в точке
( )
0 0
x
f
y
=

( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
+
+
′′


+

+
=


2 1
1 2
1
v
u
n
n
v
nu
v
u
uv
n
n
n
n
( )
n
uv
+
– формула Лейбница.

( )
( )
( )
c
f
a
b
a
f
b
f

=


– формула Лагранжа;
(
)
b
a
c
,


( )
( )
( )
( )
( )
( )
c
g
c
f
a
g
b
g
a
f
b
f


=


– формула Коши;
(
)
b
a
c
,


( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
+

′′
+


+
=
2
!
2
!
1
a
x
a
f
a
x
a
f
a
f
x
f
( )
( ) ( )
(
)
( )
(
)
(
)
1 1
!
1
!
+
+

+
ξ
+

+
+
n
n
n
n
a
x
n
f
a
x
n
a
f
– формула Тейлора;
(
)
x
a
,

ξ
● При
0
=
a
получаем формулу Маклорена

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+
+
+
′′
+

+
=
n
n
x
n
f
x
f
x
f
f
x
f
!
0
!
2 0
!
1 0
0 2
(
)
( )
(
)
(
)
1 1
!
1 0
+
+
+
+
n
n
x
n
f
● Неопределенный и определенный интегралы
– Табличные интегралы:
(
)
;
1 1
d
1



α
+
+
α
=
+
α
α
C
x
x
x
;
ln d

+
=
C
x
x
x
(
)
;
1 0
ln d


<
+
=
a
C
a
a
x
a
x
x
;
e d
e

+
=
C
x
x
x

+

=
;
cos d
sin
C
x
x
x
;
sin d
cos

+
=
C
x
x
x
;
ctg sin d
2

+

=
C
x
x
x
;
tg cos d
2

+
=
C
x
x
x
;
arcsin d
2 2

+
=

C
a
x
x
a
x
;
arcsin
1
d
2

+
=

C
x
x
x
;
arctg
1
d
2

+
=
+
C
x
x
x
;
arctg
1
d
2 2

+
=
+
C
a
x
a
x
a
x
(
)
;
0
ln
2 1
d
2 2

+
+

=


a
C
a
x
a
x
a
a
x
x
;
1 1
ln
2 1
1
d
2
C
x
x
x
x
+
+

=


(
)
;
0
arctg
1
d
2 2


+
=
+
a
C
a
x
a
a
x
x
;
arctg
1
d
2

+
=
+
C
x
x
x
;
ln d
2 2
C
k
x
x
k
x
x
+
±
+
=
±

1
ln
1
d
2 2
C
x
x
x
x
+
±
+
=
±


( )
( )
( )
[
] ( )
t
t
t
f
x
x
f
t
x
d d
ϕ′
ϕ
=


ϕ
=
– формула замены переменной в неопределенном интеграле.

( )
( )
[
] ( )


ϕ′
ϕ
=
t
t
t
f
x
x
f
b
a
d d
– формула замены переменной в определенном интеграле;
a
=
α
ϕ )
(
,
b
=
β
ϕ )
(

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x
x
u
x
v
x
v
x
u
x
x
v
x
u
d d


=



– формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

u
v
v
u
v
u
b
a
b
a
b
a
d d



=
– формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

( )
( )(
)
a
b
c
f
x
x
f
b
a

=

d
– формула среднего значения;
[
]
b
a
c
,


( )
( )
( )
( )
b
a
b
a
x
F
a
F
b
F
x
x
f
=

=

d
– формула Ньютона-Лейбница.

( )
x
x
f
s
b
a
d

=
– площадь криволинейной трапеции
( )
b
x
a
x
f
y




,
0

( ) ( )
t
t
t
s
d
ϕ′
ψ
=

β
α
– площадь криволинейной трапеции, верхняя граница которой задана параметрически:
( )
( )
β


α
ψ
=
ϕ
=
t
t
y
t
x
,
,

( )
ϕ
ϕ
ρ
=

d
2 1
2
β
α
s
– площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах:
( )
β

ϕ

α
ϕ
ρ
=
ρ
,

( )
(
)
x
x
f
L
b
a
d
1 2


+
=
длина дуги кривой, заданной уравнением
( )
x
f
y
=
,
b
x
a



( )
(
)
( )
(
)
t
t
t
L
β
α
d
2 2

ψ′
+
ϕ′
=
– длина дуги кривой, заданной параметрически:
( )
( )
β


α
ψ
=
ϕ
=
t
t
y
t
x
,
,

( )
(
)
( )
(
)
ϕ
ϕ
ρ′
+
ϕ
ρ
=

d
2 2
β
α
L
– длина дуги кривой, заданной в полярных координатах:
( )
,
ϕ
ρ
=
ρ
β

ϕ

α


( )
x
x
f
V
b
a
d
2

π
=
– объем тела вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции
( )
,
0
x
f
y


b
x
a



( )
( )
(
)
x
x
f
x
f
P
b
a
d
1 2
2

+
π
=

– площадь поверхности вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции
( )
b
x
a
x
f
y




,
0
ПОНЯТИЕ О ВЕКТОРАХ И СКАЛЯРАХ.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Векторной величиной, или вектором (в широком смысле), называется всякая величина, обладающая направлением. Скалярной величиной, или скаля-
ром, называется величина, не обладающая направлением.
● Векторы могут обозначаться как двумя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой, либо выделяться жирным шрифтом, например:
a
=
AB
,
AB
a
=
или
AB
a
=
● Векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой), называются коллинеарными. Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные векторы)или противоположные.

Сложение векторов по правилу треугольников.
Суммой векторов
а
и
b
называется третий вектор
с
, получаемый следующим по- строением: из произвольного начала О строим вектор
OL
, равный
а
; из точки L, как из начала, строим вектор
LM
, равный
b
Вектор
с
=
OM
есть сумма векторов
а
и
b

Сложение векторов по правилу параллелограмма.
Если слагаемые
а
и
b
не коллинеарны, то сумму
а
+
b
можно найти следующим построением: из любого начала О строим векторы
OA
=
а
и
OB
=
b
; на отрезках ОА, ОВ строим параллелограмм ОАСВ, Вектор диагонали
OC
=
с
есть сумма векторов
а
и
b
(так как
AC
=
OB
=
b
и
OC
=
OA
+
AC
). Обозначение:
a
2

a
1

Вычитание векторов.
Вычесть вектор
a
1
(вычитаемое) из вектора
а
2
(уменьшаемое) значит найти новый вектор
х
(разность), кото- рый в сумме с вектором
а
1
дает вектор
а
2
. Отсюда следует, что вычитание векторов есть действие, обратное сложению.
Из определения вытекает такое построение: из произвольного начала О строим векторы
1
OA
=
1   2   3   4   5   6   7   8   9

перейти в каталог файлов


связь с админом