Главная страница
qrcode

Законы и формулы по математике и физике школьная математика высшая математика физика издательство тгту


НазваниеЗаконы и формулы по математике и физике школьная математика высшая математика физика издательство тгту
Анкорformuly po fizike i matematike.pdf
Дата26.10.2017
Размер0.74 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаformuly_po_fizike_i_matematike.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипЗакон
#44521
страница3 из 9
Каталогid64647277

С этим файлом связано 36 файл(ов). Среди них: Matematika_formuly.pdf, Тема 2.doc, Тема 6.docx, Podgotovka_k_EGE_Istoria_Rossii_I_Bablenkova.pdf, geometry.pdf, Основные события ВОВ.doc, Тема 5.docx, Istoria_Rossii_s_drevneyshikh_vremen_do_kontsa.pdf, Formuly_po_matematike_1.doc, внут и внеш пол прав.docx и ещё 26 файл(а).
Показать все связанные файлы
1   2   3   4   5   6   7   8   9
a
1
,
2
OA
=
a
2
.
Вектор
2 1
A
А
(проведенный из конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого) есть разность
a
2

a
1
:
2 1
A
А
=
2
OA

1
OA
Другое построение. Чтобы построить разность
a
2

a
1
векторов
a
2
и
a
1
, можно взять сумму векторов
a
2
и –
a
1
, т.е.
a
2

a
1
=
a
2
+ (–
a
1
).

Умножение вектора на число.
Умножить вектор
a
(множимое) на число х (множитель) значит построить новый вектор (произведе- ние), модуль которого получается умножением модуля вектора
а
на абсолютное значение числа х, а направление совпадает с направлением вектора
а
или противоположно ему, смотря по тому, положительно число х или отрицательно. Если же х = 0, то произведение есть нуль- вектор.
Обозначение:
а
х или х
а

Деление вектора на число.
Разделить вектор
а
на число х значит найти такой вектор, который, будучи умножен на число х, даст в произведении вектор
а
Обозначение:
a
: х или
x
a
Вместо деления
x
a
можно выполнить умножение
а
×
x
1
Скалярным произведением вектора
а
на вектор
b
называется произведение их модулей на косинус угла между ними.
ab
= |
a
|
⋅ |
b
|
⋅ cos (

b
a,
).
Векторным произведением вектора
a
(множимое) на не коллинеарный с ним вектор
b
(множитель) называется третий вектор
с
(произведение), кото- рый строится следующим образом:
1) его модуль численно равен площади параллелограмма
(AOBL на чертеже), построенного на векторах
a
и
b
, т.е. он равен |
a
|
⋅ |
b
|
⋅ sin (

b
a,
);
2) его направление перпендикулярно к плоскости упомянутого параллелограмма;
3) при этом направление вектора
с
выбирается (из двух возможных) так, чтобы векторы
а
,
b
,
с
составляли правую систему.

Прямоугольная система координат в пространстве.
Три взаимно перпендикулярные оси OX, OY, OZ, проходящие через некоторую точку
О, образуют прямоугольную систему координат. Точка О называ- ется началом координат, прямые OX, OY, OZосями координат (OX – ось абсцисс; OY – ось ординат; OZ –ось апликат), а плоскости XOY, YOZ, ZOX
координатными плоскостями. Какой-либо отрезок UV принимается за единицу масштаба для всех трех осей (см. рис. ниже). Отложив на осях OX, OY, OZ в положительном направлении отрезки ОА, ОВ, ОС, равные единице масштаба, получим три вектора
OA
,
OB
,
OC
. Они называются основными векторами
и обозначаются соответственно
i
,
j
,
k

Правая и левая системы координат.
B
A
ar

Положительные направления на осях принято выбирать так, чтобы поворот на 90°, совмещающий положительный луч ОХ с лучом
ОY, казался происхо- дящим против часовой стрелки, если наблюдать его со стороны луча OZ. Такая система координат называется правой. Иногда пользуются и левой системой
координат. В ней упомянутый поворот совершается по часовой стрелке.

Правая и левая системы трех векторов.
Пусть
a
,
b
,
с
– три (ненулевые) вектора, не параллельные одной плоскости и взятые в указанном порядке (т.е.
а
– первый вектор,
b
– второй и
с
– тре- тий.) Приведя их к общему началу О, получим три вектора
OA
,
OB
,
OC
, не лежащие в одной плоскости. Система трех векторов
a
,
b
,
с
называется пра- вой, если поворот вектора
OA
, совмещающий его по кратчайшему пути с вектором
OB
, совершается против часовой стрелки для наблюдателя, глаз кото- рого помещается в точке С.
Если же упомянутый поворот совершается по часовой стрелке, то система трех векторов
a
,
b
,
с
называется левой.
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
• Среднее арифметическое из n равноточных измерений величины a
n
а
а
n
i
i

=
=
1
ср
• Абсолютная ошибка отдельного измерения
i
i
а
а
а

=

ср
• Средняя квадратичная ошибка
)
1
(
1 2


=

=
n
n
a
S
n
i
i
• Абсолютная погрешность результата измерения
S
n
t
а
)
,
(
α
=

, где t – коэффициент Стьюдента;
α – надежность.
• Относительная погрешность ср
а
а
Е

=
Таблица коэффициентов Стьюдента
Надежность
Число измерений
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,98 2 1,00 1,38 2,0 3,1 6,3 12,7 31,8 5 0,74 0,94 1,2 1,5 2,1 2,8 3,7 10 0,70 0,88 1,1 1,4 1,8 2,3 2,8

ФИЗИКА
1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
1.1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ
● Средняя и мгновенная скорости материальной точки
;
,
t
s
v
t


=


=
r
v
,
d d
t
r
v
=
где

r
– элементарное перемещение точки за промежуток времени
t;
r
– радиус-вектор точки;
s – путь, пройденный точкой за промежуток времени ∆t.
● Среднее и мгновенное ускорения материальной точки
t
t
d d
,
v
a
v
a
=


=
● Полное ускорение при криволинейном движении
2 2
,
n
n
a
a
a
+
=
+
=
τ
τ
a
a
a
, где
t
a
d d
υ
=
τ
тангенциальная составляющая ускорения;
r
a
n
2
υ
=
– нормальная составляющая ускорения (
r
– радиус кривизны траектории в данной точке).
● Путь и скорость для равнопеременного движения
;
2 2
0
at
t
s
±
υ
=
,
0
at
±
υ
=
υ
где
0
υ
– начальная скорость.
● Угловая скорость
t
d d
ϕ
ω =
● Угловое ускорение
t
d d
ω
ε =
● Угловая скорость для равномерного вращательного движения
,
2 2
n
T
t
π
=
π
=
ϕ
=
ω
где
T
– период вращения;
n
– частота вращения (
t
N
n
/
=
, где
N
– число оборотов, совершаемых телом за время
t
).
● Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения
2 2
0
t
t
ε
±
ω
=
ϕ
;
t
t
ε
±
ω
=
ω
0
, где
0
ω
– начальная угловая скорость.
● Связь между линейными и угловыми величинами
R
a
R
a
R
v
R
s
n
2
;
;
;
ω
=
ε
=
ω
=
ϕ
=
τ
, где
R
– расстояние от оси вращения.
1.2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И
ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
● Импульс (количество движения) материальной точки
v
p
m
=
● Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)
t
t
m
m
d d
d d
p
v
F
=
=
= a
● Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки
R
m
R
mv
ma
F
t
v
m
ma
F
n
n
2 2
;
d d
ω
=
=
=
=
=
τ
τ
● Сила трения скольжения
fN
F
=
тр
, где
f
– коэффициент трения скольжения;
N
– сила нормального давления.
● Сила трения качения
r
N
f
F
/
к тр
=
,
где
f
– коэффициент трения качения;
r
– радиус качающегося тела.
● Закон сохранения импульса для замкнутой системы const
1
=
=

=
n
i
i
i
m
v
p
, где
n
– число материальных точек (или тел), входящих в систему.
● Координаты центра масс системы материальных точек:
i
i
i
C
i
i
i
C
i
i
i
C
m
z
m
z
m
y
m
y
m
x
m
x
Σ
Σ
=
Σ
Σ
=
Σ
Σ
=
;
;
, где
i
m
– масса i-й материальной точки;
C
C
C
z
y
x
,
,
– ее координаты.
● Уравнение движения тела переменной массы (уравнение Мещерского) p
F
F
a
+
=
m
, где реактивная сила
t
m
d d
p
u
F

=
(
u
– скорость истечения газов из ракеты).
● Формула Циолковского для определения скорости ракеты
m
m
0
ln
u
v
=
, где
0
m
– начальная масса ракеты.
1.3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
● Работа, совершаемая постоянной силой
α
=
=
=
cos d
d d
d
s
F
s
F
A
s
r
F
, где
s
F
проекция силы на направление перемещения;
α – угол между направлениями силы и перемещения.
● Работа, совершаемая переменной силой, на пути s


α
=
=
s
s
s
s
F
s
F
A
d cos d
● Средняя мощность за промежуток времени

t
t
A
N


=
/
● Мгновенная мощность
t
A
N
d d
=
, или
α
υ
=
υ
=
=
cos
F
F
N
s
Fv



П = mgh, где g – ускорение свободного падения.
● Сила упругости
kx
F

=
, где х – деформация;
k
– коэффициент упругости.
● Потенциальная энергия упругодеформированного тела
2
/
П
2
kx
=
● Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы) const
=
=
+
Е
T П
● Коэффициент восстановления
n
n
υ
υ′
=
ε
/
, где
n
υ′
и
n
υ
– соответственно нормальные составляющие относительной скорости тел после и до удара.
● Скорости двух тел массами
1
m
и
2
m
после абсолютно упругого центрального удара:
(
)
2 1
2 2
1 2
1 1
2
m
m
m
m
m
+
υ
+
υ

=
υ′
;
(
)
2 1
1 1
2 1
2 2
2
m
m
m
m
m
+
υ
+
υ

=
υ′
, где
1
υ
и
2
υ
– скорости тел до удара.
● Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удара
2 1
2 2
1 1
m
m
m
m
+
υ
+
υ
=
υ
1.4. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
● Момент инерции материальной точки

2
mr
J
=
, где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения.
● Момент инерции системы (тела)

=
=
n
i
i
i
r
m
J
1 2
, где
i
r
– расстояние материальной точки массой
i
m
до оси вращения.
В случае непрерывного распределения масс
m
r
J
d
2

=
● Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m – масса тела):
Тело
Положение оси вращения
Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиусом
R
Ось симметрии
2
mR
Сплошной цилиндр или диск радиусом
R
Ось симметрии
2 2
1
mR
Прямой тонкий стер- жень длиной
l
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
2 12 1
ml
Прямой тонкий стер- жень длиной
l
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
2 3
1
ml
Шар радиусом
R
Ось проходит через центр шара
2 5
2
mR
● Теорема Штейнера
2
ma
J
J
C
+
=
, где
C
J
– момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс;
J
– момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m – масса тела.
● Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
z
,
2
/
2
вр
ω
=
z
J
T
, где
z
J
– момент инерции тела относительно оси
z
;
ω – его угловая скорость.
● Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,
2 2
2 1
2 1
ω
+
υ
=
C
C
J
m
T
, где m – масса тела;
C
υ
– скорость центра масс тела;
C
J
– момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;
ω – угловая скорость тела.
● Момент силы относительно неподвижной точки
[ ]
rF
M
=
, где
r
– радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы
F
● Модуль момента силы
Fl
M
=
, где l – плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).
● Работа при вращении тела
ϕ
=
d d
z
M
A
, где d
ϕ – угол поворота тела;
z
M
– момент силы относительно оси
z
● Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения
,
z
i
i
i
z
J
r
m
L
=
υ
=

где
i
r
– расстояние от оси
z
до отдельной частицы тела;
i
i
m
υ
– импульс этой частицы;
z
J
– момент инерции тела относительно оси
z
;
ω – его угловая скорость.
● Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
ε
=
ω
=
=
z
z
z
J
t
J
M
t
d d
;
d d
L
M
, где
ε – угловое ускорение;
z
J
– момент инерции тела относительно оси
z
● Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы
L
= const.
● Напряжение при упругой деформации
σ = F / S, где F – растягивающая (сжимающая) сила; S – площадь поперечного сечения.
● Относительное продольное растяжение (сжатие)
ε = ∆l / l, где
l – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.

● Относительное поперечное растяжение (сжатие)
ε' = ∆d / d, где
d – изменение диаметра стержня при растяжении (сжатии); d – диаметр стержня.
● Связь между относительным поперечным сжатием (растяжением)
ε' и относительным продольным растяжением (сжатием) ε
ε' = µε,
µ
● Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)
σ = Eε, где Е – модуль Юнга.
● Потенциальная энергия упругорастянутого (сжатого) стержня
( )
V
E
l
l
ES
x
F
l
2 2
1
d
П
2 2
0
ε
=

=
=


, где V – объем тела.
1.5. ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
● Третий закон Кеплера
3 2
3 1
2 2
2 1
R
R
T
T =
, где
1
T
и
2
T
периоды обращения планет вокруг Солнца;
1
R
и
2
R
– большие полуоси их орбит.
● Закон всемирного тяготения
r
r
m
m
G
1   2   3   4   5   6   7   8   9

перейти в каталог файлов


связь с админом